Pružná srážka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Pokud záření absolutně černého tělesa (není zobrazeno) nemůže uniknout ze systému, probíhají mezi jednotlivými atomy elastické srážky. Průměrně si dva atomy odnesou ze srážky stejné množství kinetické energie, jaké měly před srážkou. V reálném případě probíhají srážky mnohonásobně rychleji než jak to zobrazuje animace. Několik částic je obarveno červeně, aby bylo možné lépe sledovat jejich pohyb.

Pružná (elastická) srážka (též pružný ráz) je taková srážka, při níž je celková kinetická energie srážejících se těles po srážce stejná jako celková kinetická energie před srážkou. Elastická srážka proběhne pouze tehdy, pokud nedochází k přeměně kinetické energie na jiné formy energie. Během pružné srážky se tedy nemění vnitřní stav tělesa (po srážce má tedy těleso stejnou hmotnost, elektrický náboj apod.), ale pouze jeho pohybový stav (těleso se tedy po srážce pohybuje jinou rychlostí, popř. jiným směrem).

Při nárazu makroskopických těles vznikají deformační síly, které se snaží vyrovnávat rozdíl rychlostí narážejících těles v bodě rázu. Tyto síly dosahují maxima v okamžiku, když jsou rychlosti vyrovnány. V tomto okamžiku jsou také deformace maximální. Po nárazu deformační síly vymizí a v závislosti na pružnosti materiálu dojde k návratu do původního tvaru, nebo těleso zůstane deformováno. Krajními případy jsou nepružný ráz, při které jsou všechny deformace vzniklé při rázu trvalé (plastické), a dokonale pružný ráz, při kterém se těleso vrací do původního tvaru a všechny deformace vymizí. Reálná tělesa jsou nedokonale pružná (polopružná).

Příkladem pružné srážky může být změna trajektorií dvou vzájemně interagujících atomů, aniž by došlo ke změně jejich vnitřních stavů (příkladem takové srážky může být Rutherfordův rozptyl). U makroskopických těles představuje pružná srážka ideální případ, který nelze v přírodě pozorovat (srážky reálných těles jsou polopružné). Za určitých podmínek však lze srážky mezi makroskopickými tělesy považovat za pružné.

Při pružných srážkách se zachovává kinetická energie, hybnost a také moment hybnosti (viz impulzové věty).

Obsah

1 Rovnice
- 1.1 Jednorozměrná srážka v nerelativistické mechanice
- 1.2 Jednorozměrná srážka v relativistické mechanice
2 Související články

[editovat] Rovnice

Při pružné srážce se zachovává celková kinetická energie a také hybnost, což lze vyjádřit vztahy

$E_{k,1} + E_{k,2} = E_{k,1}^\prime + E_{k,2}^\prime = E_k$ ,

$\mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2 = \mathbf{p}_1^\prime + \mathbf{p}_2^\prime = \mathbf{p}$ ,

kde $E_{k,1}$ je kinetická energie prvního tělesa před srážkou, $E_{k,2}$ je kinetická energie druhého tělesa před srážkou, $E_{k,1}^\prime$ je kinetická energie prvního tělesa po srážce, $E_{k,2}^\prime$ je kinetická energie druhého tělesa po srážce, $E_k$ je celková kinetická energie systému, $\mathbf{p}_1$ je hybnost první částice před srážkou, $\mathbf{p}_2$ je hybnost druhé částice před srážkou, $\mathbf{p}_1^\prime$ je hybnost první částice po srážce, $\mathbf{p}_2^\prime$ je hybnost druhé částice po srážce a $\mathbf{p}$ je celková hybnost systému.

[editovat] Jednorozměrná srážka v nerelativistické mechanice

Pro malé rychlosti těles lze srážku řešit prostřednictvím metod klasické mechaniky.

Celková kinetická energie je podle předpokladu po srážce stejná jako před srážkou, tedy

$\frac{m_1u_1^2}2+\frac{m_2u_2^2}2=\frac{m_1v_1^2}2+\frac{m_2v_2^2}2$ ,

kde $m_1, m_2$ označuje hmotnost prvního a druhého tělesa, $u_1, u_2$ představují rychlosti prvního a druhého tělesa před srážkou a $v_1, v_2$ jsou rychlosti těchto těles po srážce.

Celková hybnost systému se během srážky zachovává

$\,\! m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$

Řešením těchto rovnic lze přímo získat rychlosti $v_{1}$ a $v_{2}$ .

Lze postupovat také tak, že změníme vztažnou soustavu tak, že buď $v_{1}$ nebo $v_{2}$ je nulové. Jedno těleso zůstává takové soustavě po srážce v klidu, zatímco druhé se bude pohybovat. Pokud určíme rychlost tohoto pohybu, lze se vhodnou transformací vrátit k původní vztažné soustavě a získat tak požadované rychlosti obou těles.

Je možné si všimnout, že uvedená soustava rovnic má jak triviální řešení tak netriviální řešení. Důvodem je skutečnost, že rovnice popisují nejen pružnou srážku, ale také pohyb dvou vzájemně izolovaných částic, kdy ke srážce nedojde. Řešení mají tedy tvar

$v_{1} = \frac{u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ , $v_{2} = \frac{u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

nebo

$v_{1} = u_{1}$ , $v_{2} = u_{2}$

Při pružné srážce platí, že

$v_{1}-v_{2} = u_{2}-u_{1}$

neboli

$\frac{v_1-v_2}{u_1-u_2} = -1$

Relativní rychlost těles při pružné srážce změní během rázu pouze své znaménko. Při pružné srážce je součinitel restituce roven jedné.

Zajímavým důsledkem je skutečnost, že pro dvě stejně hmotná tělesa, tzn. $m = m_1 = m_2$ , dostaneme, že $v_1=u_2$ a $v_2=u_1$ . Obě tělesa si tedy po rázu vymění rychlosti. Je-li navíc rychlost druhého tělesa před rázem nulová (těleso je v klidu), pak se první těleso zastaví a druhé se bude pohybovat stejnou rychlostí, s jakou se pohybovalo první těleso před rázem.

Pružná srážka těles o stejné hmotnosti.

Řešení se nezmění, pokud je ke všem rychlostem přidána konstanta, tzn. všechny rychlosti se změní o konstantní hodnotu. To odpovídá transformaci do vztažné soustavy, která se vůči původní pohybuje s konstantní rychlostí.

Pružná srážka těles v pohybujících se vztažných soustavách.

Rychlost pohybu hmotného středu se během srážky nemění. Hmotný střed v čase $t$ před srážkou a v čase $t^\prime$ po srážce je určen jako

$\bar{x}(t) = \frac{m_{1} \cdot x_{1}(t)+m_{2} \cdot x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}$

$\bar{x}(t^\prime) = \frac{m_{1} \cdot x_{1}(t^\prime)+m_{2} \cdot x_{2}(t^\prime)}{m_{1}+m_{2}}$

Pro rychlosti hmotného středu před a po srážce tedy platí

$v_{ \bar{x} } = \frac{m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

$v_{ \bar{x} }^\prime = \frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

Čitatel $v_{ \bar{x} }$ představuje celkovou hybnost před srážkou a čitatel $v_{ \bar{x} }^\prime$ je celková hybnost po srážce. Vzhledem k tomu, že hybnost se během srážky zachovává, musí být $v_{ \bar{x} } = \ v_{ \bar{x} }^\prime$ .

Při srážce jsou rychlosti obou těles vzhledem k hmotnému středu obráceny. V případě různých hmotností se těleso s větší hmotností pohybuje menší rychlostí k hmotnému středu a po srážce se odrazí a pohybuje se v opačném směru se stejnou rychlostí, a těleso s menší hmotností se pohybuje k hmotnému středu větší rychlostí a po srážce se pohybuje stejnou rychlostí v opačném směru.

Z rovnic pro $v_{1}$ a $v_{2}$ je vidět, že v případě velké rychlosti $u_{1}$ je hodnota rychlosti $v_{1}$ malá, jsou-li hmotnosti přibližně stejné. Náraz mnohem lehčího tělesa nezmění velmi rychlost, zatímco náraz těžšího tělesa způsobí, že druhé těleso se odrazí s mnohem vyšší rychlostí.

Pružná srážka při rozdílných hmotnostech.

Je-li $m_1\ll m_2$ a druhé těleso je v klidu, odskočí první těleso po nárazu zpět stejnou rychlostí, zatímco druhá zůstane v klidu. Pokud se jedná o koule, pak při konečné hustotě druhého tělesa (koule) bude její poloměr velmi velký, takže se vlastně jedná o náraz koule na pevnou (rovinnou) stěnu.

[editovat] Jednorozměrná srážka v relativistické mechanice

V případě vysokých rychlostí pohybů těles je srážku nutno řešit v rámci relativistické mechaniky.

V relativistické mechanice bude pro pružný ráz platit

$\frac{m_{1}\;u_{1}}{\sqrt{1-u_{1}^{2}/c^{2}}} + \frac{m_{2}\;u_{2}}{\sqrt{1-u_{2}^{2}/c^{2}}} = \frac{m_{1}\;v_{1}}{\sqrt{1-v_{1}^{2}/c^{2}}} + \frac{m_{2}\;v_{2}}{\sqrt{1-v_{2}^{2}/c^{2}}}=p$

$\frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} + \frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} = \frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} + \frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E$

kde $m_1, m_2$ jsou hmotnosti jednotlivých těles, $u_1, u_2$ jsou jejich rychlosti před srážkou, $v_1, v_2$ jsou jejich rychlosti po srážce, $c$ je rychlost světla, $p$ celková hybnost soustavy a $E$ je celková energie.

Pokud je $u_1 = - v_1, u_2 = - v_2$ , pak se zachovává kinetická energie i hybnost. Klidová hmotnost dvou různých těles se během srážky nemění. Ve vztažné soustavě, v níž je celková hybnost nulová, tzn. $p=0$ (tedy v těžišťové soustavě), platí klasické řešení.