Prostorový úhel

Vymezení prostorového úhlu na kulové ploše rotační kuželovou plochou

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše. Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek ${\overrightarrow {VX}}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Prostorový úhel jako fyzikální veličina

Definice

Prostorový úhel jako veličina charakterizuje velikost části prostoru vyťaté obecnou kuželovou plochou (bez ohledu na její konkrétní tvar či směřování) pomocí obsahu $A$ plochy jí vymezené na kulové ploše (sféře) se středem ve vrcholu kuželové plochy a s poloměrem $r$, a to nezávisle na velikosti (poloměru) sféry.

Definiční vztah:

${\mathit {\Omega }}={\frac {A}{r^{2}}}$

Prostorový úhel je veličinou skalární.

Značení a jednotky

• Symbol veličiny: ${\mathit {\Omega }}$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr

Steradián je koherentní fyzikální jednotka prostorového úhlu. Jeden steradián je prostorový úhel, který vymezuje ze středu kulové plochy na jejím povrchu plochu o obsahu rovném kvadrátu jejího poloměru. (Definice je obecná, aniž by specifikovala tvar vymezené plochy.) Podobně jako radián, je steradián v současné podobě SI považován za odvozenou bezrozměrnou jednotku, přičemž dříve (do r. 1995) byl řazen do tzv. doplňkových jednotek s vlastním rozměrem.

• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je číselně roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou sféru, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu $4\pi$, přímý prostorový úhel (poloprostor) pak poloviční, tedy $2\pi$.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru ${\boldsymbol {r}}$ element plochy $\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}$, jehož polohový vektor je ${\boldsymbol {r}}^{\prime }$, pak pro element prostorového úhlu platí

$\mathrm {d} {\mathit {\Omega }}={\frac {{\boldsymbol {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}{R^{3}}}$,

kde ${\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }$, ${\boldsymbol {R}}$ je velikost tohoto vektoru a $\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {n}}\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}$, přičemž ${\boldsymbol {n}}$ je normála plochy v bodě ${\boldsymbol {r}}^{\prime }$.

Související články

• Úhel
• Steradián