Pozitivně definitní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Pozitivně definitní matice je taková symetrická čtvercová matice, jejíž vlastní čísla jsou větší než nula. Takovou matici lze rozeznat Gaussovou eliminací bez změny pořadí řádků, případně z Jacobiho podmínky. Používá se mimo jiné v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných.

V oboru reálných čísel pro každý nenulový vektor x a pozitivně definitní matici M platí:

\bold x^T \bold M \bold x > 0

V oboru komplexních čísel:

\bold z^H \bold M \bold z > 0

[editovat] Jacobiho podmínka (Sylvestrovo kritérium)

Existuje ještě jeden způsob, jak poznat, zda je matice M (řádu n) pozitivně definitní. Uvažme matice M_n, \dots, M_1, kde matice Mi vznikla z M umazáním posledních n − i řádků a sloupců. Pokud je pro \forall i \in \{1, \dots, n\}: \det M_i > 0, potom je matice pozitivně definitní.

[editovat] Podobné definice

Analogicky jsou definovány negativně definitní matice (s obrácenou nerovností), semidefinitní matice (s neostrými nerovnostmi) a indefinitní matice:

\exists x,y tak, že x \ne 0 \mathrm{~a~} y \ne 0: ~\bold x^T \bold M \bold x > 0 > \bold y^T \bold M \bold y

[editovat] Související články

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Pozitivn%C4%9B_definitn%C3%AD_matice“