Pozitivně definitní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pozitivně definitní matice je taková čtvercová matice, pro kterou platí

\bold x \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \bold x^T \bold M \bold x > 0

(v oboru reálných čísel), respektive

\bold z \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \bold z^H \bold M \bold z > 0, \qquad\text{kde}\qquad {\bold z}^H=\bar{\bold z}^T

(v oboru komplexních čísel). Pozitivně definitní matice má vždy kladná vlastní čísla. Každá symetrická (respektive hermitovská) matice, jejíž vlastní čísla jsou kladná, je pozitivně definitní.


Hlavní věta o symetrických pozitivně definitních maticích[editovat | editovat zdroj]

Nechť \bold M je symetrická (případně hermitovská) matice. Pak následujících 10 tvrzení je ekvivalentních:

M_1=m_{1,1},\quad M_2=\left[\begin{array}{cc}m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,1}&m_{2,2}\end{array}\right],\quad M_3=\left[\begin{array}{ccc}m_{1,1}&m_{1,2}&m_{1,3}\\m_{2,1}&m_{2,2}&m_{2,3}\\m_{3,1}&m_{3,2}&m_{3,3}\end{array}\right],\quad\ldots;

tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.

Důkaz ekvivalence viz např. [1]

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi (n=1,2,3) se nejčastěji setkáme s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). V praxi použitelné (n= 10^6,10^9,\ldots) však nejsou žádné postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Praktické určení pozitivní definitnosti[editovat | editovat zdroj]

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je daná symetrická matice pozitivně definitní efektivním, tedy zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (délka výpočtu je úměrná n^3 a algoritmus je bezpodmínečně zpětně stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokud matice pozitivně definitní je, proběhne výpočet Choleského faktoru aniž by tyto situace nastaly.

Tento test lze provést i pro matici obecně hermitovskou. Protože je při výpočtu s takovou maticí nezbytné použít aritmetiku komplexních čísel, je nezbytné speciálně ošetřit situaci výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu. I v hermitovském (obecně komplexním případě) platí, že je-li matice pozitivně definitní, nedojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla.

Podobné definice[editovat | editovat zdroj]

Analogicky jsou definovány negativně definitní matice (s obrácenou nerovností) a pozitivně a negativně semidefinitní matice (s neostrými nerovnostmi). Indefinitní matice je definována vztahem

\exists\,\bold x\neq 0,\; \bold y\neq0     tak, že     \bold x^T \bold M \bold x > 0 > \bold y^T \bold M \bold y.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI SNTL 1981.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI, SNTL, 1981.
  • Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton in Applied Mathematics, Princeton University Press, 2006.