Pozitivně definitní matice

Pozitivně definitní matice je taková čtvercová matice, pro kterou platí

$\bold x \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \bold x^T \bold M \bold x > 0$

(v oboru reálných čísel), respektive

$\bold z \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \bold z^H \bold M \bold z > 0, \qquad\text{kde}\qquad {\bold z}^H=\bar{\bold z}^T$

(v oboru komplexních čísel). Pozitivně definitní matice má vždy kladná vlastní čísla. Každá symetrická (respektive hermitovská) matice, jejíž vlastní čísla jsou kladná, je pozitivně definitní.

Hlavní věta o symetrických pozitivně definitních maticích

Nechť $\bold M$ je symetrická (případně hermitovská) matice. Pak následujících 10 tvrzení je ekvivalentních:

• Matice $\bold M$ je pozitivně definitní.
• Všechna vlastní čísla všech hlavních podmatic jsou kladná.
• Všechny hlavní minory matice $\bold M$ jsou kladné.
• $\det(M_k) > 0$ pro $k=1,\ldots,n$, kde

$M_1=m_{1,1},\quad M_2=\left[\begin{array}{cc}m_{1,1}&m_{1,2}\\m_{2,1}&m_{2,2}\end{array}\right],\quad M_3=\left[\begin{array}{ccc}m_{1,1}&m_{1,2}&m_{1,3}\\m_{2,1}&m_{2,2}&m_{2,3}\\m_{3,1}&m_{3,2}&m_{3,3}\end{array}\right],\quad\ldots;$

tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.

• Existuje dolní trojúhelníková matice $\bold L$ tak, že $\bold M=\bold L\bold L^T$; viz Choleského rozklad.
• Existuje regulární matice $\bold C$ tak, že $\bold M = \bold C\bold C^T$.
• Existuje symetrická (případně hermitovská) regulární matice $\bold F$ tak, že $\bold M = \bold F \bold F = \bold F^2$; přičemž obvykle se značí $\bold F = \sqrt{\bold{M}} = \bold{M}^{1/2}$, viz maticové funkce.
• Součty všech hlavních minorů k-tého stupně jsou kladné pro $k=1,\ldots,n$.
• Všechna vlastní čísla matice $\bold M$ jsou kladná.
• Existuje ortogonální (případně unitární) matice $\bold U$ a diagonální matice $\bold D$ s kladnými prvky na diagonále tak, že $\bold M = \bold U \bold D \bold U^T$; viz Jordanův rozklad (resp. Jordanův kanonický tvar) a Schurův rozklad.

Důkaz ekvivalence viz např.

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi ($n=1,2,3$) se nejčastěji setkáme s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). V praxi použitelné ($n= 10^6,10^9,\ldots$) však nejsou žádné postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Praktické určení pozitivní definitnosti

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je daná symetrická matice pozitivně definitní efektivním, tedy zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (délka výpočtu je úměrná $n^3$ a algoritmus je bezpodmínečně zpětně stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokud matice pozitivně definitní je, proběhne výpočet Choleského faktoru aniž by tyto situace nastaly.

Tento test lze provést i pro matici obecně hermitovskou. Protože je při výpočtu s takovou maticí nezbyné použít aritmetiku komplexních čísel je nezbytné speciálně ošetřit situaci výpočtu odmocniny ze záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu. I v hermitovském (obecně komplexním případě) platí, že je-li matice pozitivně definitní, nedojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo výpočtu odmocniny ze záporného čísla.

Podobné definice

Analogicky jsou definovány negativně definitní matice (s obrácenou nerovností) a pozitivně a negativně semidefinitní matice (s neostrými nerovnostmi). Indefinitní matice je definována vztahem

$\exists\,\bold x\neq 0,\; \bold y\neq0$     tak, že     $\bold x^T \bold M \bold x > 0 > \bold y^T \bold M \bold y.$

Související články

• Choleského rozklad
• Determinant
• Hermitovská matice

Literatura

• Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI, SNTL, 1981.
• Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton in Applied Mathematics, Princeston University Press, 2006.