Polospojitost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Přesněji shora polospojitost a zdola polospojitost jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno je reálná funkce f shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Přesná definice[editovat | editovat zdroj]

Shora polospojitá funkce.

Shora polospojitost[editovat | editovat zdroj]

Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud \limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x).
  • Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru \{x \in X: f(x)<a\} (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Zdola polospojitost[editovat | editovat zdroj]

Zdola polospojitá funkce.
  • Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že f(y)>f(x)-\varepsilon kdykoliv y \in U.
Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud \liminf_{y \to x} f(y) \geq f(x).
  • Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru \{x \in X: f(x)>a\} (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.


Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • \limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x) \leq \liminf_{y \to x} f(y) ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.
  • součet
  • Protože \{\sup_{f\in \mathcal{F}}f>a\}=\bigcup_{f\in \mathcal{F}}\{f>a\}, je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí \mathcal{F} opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.
  • Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad \mathcal{F}=\{\arctan(n\cdot):n \in \mathbb{N}\}.

Mnemotechnika[editovat | editovat zdroj]

Je zajímavé, že naprosté většině lidstva činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]