Platónské těleso

V geometrii je Platónské těleso pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Zde je ukázka všech pěti Platónských těles:

Čtyřstěn	Krychle (nebo Pravidelný Šestistěn)	Osmistěn	Dvanáctistěn	Dvacetistěn
(Animace)	(Animace)	(Animace)	(Animace)	(Animace)

Tabulka vlastností platónských těles

Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:

název	obrázek	počet stěn	počet hran	počet vrcholů	typ stěny	počet hran u vrcholu	povrch (hrana délky a)	objem (hrana délky a)	živel
pravidelný čtyřstěn (tetraedr)	(animace)	4	6	4	trojúhelník	3	$\sqrt{3}a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$	Oheň
krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr)	(animace)	6	12	8	čtverec	3	$6a^2$	$a^3$	Země
pravidelný osmistěn (oktaedr)	(animace)	8	12	6	trojúhelník	4	$2\sqrt{3}a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$	Vzduch
pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)	(animace)	12	30	20	pětiúhelník	3	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})a^3$	Kvintesence / Vesmír
pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)	(animace)	20	30	12	trojúhelník	5	$5\sqrt{3}a^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3$	Voda

Dualismus

Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).

Historie

Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427 – 347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Euklid sepsal kompletní matematický popis Platonských těles v prvcích, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Propozice 13-17 v knižní XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kružnice s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohoúhelníky neexistují.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

Přírodní vědy

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula hexafluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.

Vyšší dimenze

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

• Ve čtyřrozměrném prostoru jich je šest. (5-nadstěn, teserakt, 16-nadstěn, 24-nadstěn, 120-nadstěn, 600-nadstěn)
• V prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny. (zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso - zobecnění osmistěnu).

Související články

• Polopravidelná tělesa
• Čtyřrozměrná platónská tělesa
• n-rozměrná platónská tělesa
• Archimédovské těleso

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

http://www.darius.cz/ag_nikola/cl_dvanacti.html

http://telesa.wz.cz (databáze těles)