Per partes

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

(uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x
uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x

Druhý vztah získáme pouhou záměnou u \leftrightarrow v.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • \int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C, kde bylo použito u = x,  v^\prime = \cos x
  • Pro nalezení \int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x položíme u = x^2, v^\prime = \sin x, takže dostaneme \int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme u = x, v^\prime = \cos x, tzn. \int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x. Dosazením pak získáme konečný výsledek \int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C

Související články[editovat | editovat zdroj]