Parciální derivace

Parciální derivace funkce o více proměnných je její derivace vzhledem k jedné z těchto proměnných, přičemž s ostatními proměnnými se zachází jako s konstantami (v tomto kontextu je tedy opakem úplné derivace, kde mohou všechny proměnné měnit své hodnoty). Parciální derivace se využívají například ve vektorovém počtu či v diferenciální geometrii.

Parciální derivace funkce f vzhledem k proměnné x se značí f '_x, ∂_xf, nebo ∂ f / ∂ x. Symbol ∂ se ustálil ve značení PD a je stylizovaným (zaobleným) písmenem „d“. Oproti tomu derivace podle jedné proměnné se značí pouze písmenem „d“ bez stylistické úpravy. Značení PD poprvé použil Adrien-Marie Legendre, ale obecně se začalo uznávat až po jeho oživení Carlem Gustavem Jacobem Jacobim.

Úvod

Předpokládejme, že f je funkce o více než jedné proměnné, například:

z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,

Je obtížné určit derivaci takové funkce, protože v každém bodě této plochy existuje nekonečně mnoho tečen. Najít parciální derivaci takové funkce vlastně znamená vybrat jednu z takových tečen a určit její sklon. Obvykle nás nejvíce zajímá tečna, která leží v rovině rovnoběžné se souřadnicovou rovinou (y, z) nebo se souřadnicovou rovinou (x, z). Dobrý způsob, jak najít takové tečny je považovat ostatní proměnné za konstanty. Například, pokud ve výše uvedené funkci hodláme najít tečnu v bodě (1, 1, 3), která je rovnoběžná s x-ovou osou, považujeme y za konstantu. Graf uvažované funkce a jedna z příslušejících rovin (y= 1) jsou zobrazeny na prvním obrázku. Na obrázku pod ním je řez grafem funkce pro y= 1. Nalezením běžné derivace funkce o jedné proměnné, která je zadána výše uvedeným předpisem, přičemž y považujeme za konstantu získáme rovnici požadované tečny funkce f rovnoběžné s osou x:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y

Tedy v bodě (1, 1, 3), je hodnota parciální derivace (a tedy i tangens požadované tečny) rovná 3 (tento poznatek získáme substitucí). Tedy můžeme položit, že

{\frac {\partial z}{\partial x}}=3

V bodě (1, 1, 3).

Definice

Každou funkci f o více proměnných můžeme interpretovat jako systém funkcí o jedné proměnné, přičemž funkce indexujeme podle ostatních proměnných. Například, pokud vezmeme příklad uvažovaný v předchozí sekci (a jako konstantu budeme tentokrát uvažovat proměnnou x), můžeme psát:

f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,

Jinými slovy, každá hodnota x definuje funkci označovanou f_x, která je funkcí jedné reálné proměnné. Tedy,

f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,

Jakmile zvolíme hodnotu x, například ať x = a, pak f(x,y) určuje funkci f_a, která každému y přiřazuje hodnotu a² + ay + y²:

f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,

V tomto výrazu je a konstanta, ne proměnná, proto f_a je funkcí o jedné reálné proměnné, totiž y. Proto můžeme tuto funkci i zderivovat jako funkci jedné proměnné, čímž dostáváme:

f_{a}'(y)=a+2y.\,

Tento postup můžeme zopakovat pro libovolnou hodnotu a. Pokud z derivací pro všechny možné hodnoty a vytvoříme opět funkci o dvou proměnných, dostáváme:

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,

Toto je parciální derivace funkce f vzhledem k y.

Obecně, parciální derivaci funkce f(x₁, ...,x_n) vzhledem k x_i v bodě (a₁, ...,a_n) tedy můžeme definovat jako:

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.

V předchozím výrazu jsou všechny proměnné kromě x_i pevné a výběr pevných hodnot určuje funkci o jedné reálné proměnné $f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})$ , přičemž z definice máme

{\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(x_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).

Příklad

Objem kužele V závisí od jeho výšky h a poloměru podstavy r podle následujícího vzorce:

V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.

Parciální derivace V podle r je

{\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}

A vyjadřuje míru, jakou se mění objem kužele, pokud měníme poloměr jeho podstavy a výška zůstává konstantní. Naopak parciální derivace V podle h je

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}

A vyjadřuje míru, jakou se mění objem kužele, pokud měníme jeho výšku a poloměr podstavy zůstává konstantní.

Parciální primitivní funkce

I u parciálních derivací funkcí více proměnných existuje podobný koncept jako primitivní funkce u běžných derivací funkcí jedné reálné proměnné. Z parciální derivace je tedy možné částečně zrekonstruovat původní funkci.

Uvažujme například první příklad v tomto článku, ${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$ .

Pak můžeme tuto parciální derivaci, která je opět funkcí dvou proměnných, „parciálně“ integrovat podle x, přičemž y opět považujeme za konstantu:

z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)

Je důležité si uvědomit, že integrační konstanta g (y) v tomto případě není konstantou v pravém slova smyslu, ale funkcí všech proměnných kromě x (v tomto případě tedy jen y), které jsme při procesu integrace považovali za konstanty. Důvodem je, že při procesu parciálního derivování jsme všechny proměnné kromě x považovali za konstanty, a tedy se ztratily všechny funkce, které byly nezávislé na x. Nejobecnější způsob, jak se s tímto faktem vyrovnat je tedy jako integrační „konstantu“ použít libovolnou funkci všech proměnných kromě x.

Systém funkcí $x^{2}+xy+g(y)$ , kde g je funkce o jedné proměnné y tedy skládá z právě všech funkcí, jejichž parciální derivace podle x je $2x+y$ .

Pokud máme všechny parciální derivace nějaké funkce (tedy gradient), pak můžeme z parciálních primitivních funkcí získaných uvedeným procesem zcela zrekonstruovat původní funkci (až na konstantu).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Parciálna derivácia na slovenské Wikipedii.

Externí odkazy

Parciální derivace – projekt MathWorld (anglicky)
Parciální derivace – Khan Academy (anglicky)