Otočení

Geometrické otočení.

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu $S$ o (orientovaný) úhel $\alpha$ je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu $A\neq S$ bod $A^{\prime }$, pro který platí $|SA|=|SA^{\prime }|$ a velikost úhlu $\angle ASA^{\prime }$ je $\alpha$. Obrazem středu otočení $S$ je opět bod $S$.

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel $\alpha$ je dána vztahy

$x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha$

$y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha$.

Čárkované souřadnice $x',y'$ jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice $x,y$. Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel $\alpha$ kolem osy $z$ je dáno vztahem

$x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha$

$y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha$

$z^{\prime }=z$

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru $\mathbf {x'} =A\mathbf {x}$ kde $A$ je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy $\mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})^{T}$, kde $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$, o úhel $\alpha$ je

${\begin{array}{rl}A&={\begin{pmatrix}\cos \alpha +n_{1}^{2}(1-\cos \alpha )&n_{1}n_{2}(1-\cos \alpha )-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}(1-\cos \alpha )+n_{2}\sin \alpha \\n_{1}n_{2}(1-\cos \alpha )+n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{2}^{2}(1-\cos \alpha )&n_{2}n_{3}(1-\cos \alpha )-n_{1}\sin \alpha \\n_{1}n_{3}(1-\cos \alpha )-n_{2}\sin \alpha &n_{2}n_{3}(1-\cos \alpha )+n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{3}^{2}(1-\cos \alpha )\end{pmatrix}}\\\;&\;\\&=(1-\cos \alpha )\mathbf {n} \mathbf {n} ^{T}+\cos \alpha \,I+\sin \alpha {\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}},\end{array}}$

kde $I$ jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu $SO(3)$.

Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud $x_{1},\ldots ,x_{n}$ jsou staré souřadnice a $x_{1}',\ldots ,x_{n}'$ nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

$\sum x_{i}^{2}=\sum (x_{i}')^{2}.$

Rotace souřadnic o úhel $\varphi$ kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související články

• Shodné zobrazení
• Eulerovy úhly

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Otočení na Wikimedia Commons