Oskulační kružnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Tento článek pojednává o výpočtu a praktickém využití oskulačních kružnic v matematické analýze a v mechanice hmotného bodu.

Oskulační kružnice rovinné křivky v určitém bodě je kružnice, která tímto bodem prochází, má zde s danou rovinnou křivkou společnou první derivaci (společnou tečnu v tomto bodě) a rovněž i druhou derivaci (co nejvíce se v okolí tohoto bodu křivce přimyká).

Fyzikální motivace pojmu oskulační kružnice[editovat | editovat zdroj]

Každý další člen Taylorova rozvoje funkce f závisí vždy na vyšší derivaci funkce f , která přidává další informaci o průběhu vyšetřované funkce. Kromě prvních derivací, aproximujících funkci f přímkou a charakterizujících okamžitou rychlost změny závisle proměnné se změnou nezávisle proměnné, jsou fyzikálně velmi zajímavé i derivace druhé, charakterizující zrychlování či zpomalování těchto změn. Je to zcela nová informace o průběhu funkce, která fyzikálně velmi často odpovídá veličině zvané intenzita silového pole. Ta je definována druhým Newtonovým zákonem, jako

  • {\bold{a}=\frac{d^2\bold{s}}{dt^2}=\frac{\bold{F}}{m}},.......................................................................................................................................................................................( 1 )

a je tedy přímo úměrná veličině F zvané síla. Rovnoměrný pohyb tělesa hmoty m po kružnici poloměru r konstantní úhlovou rychlostí ω, popíšeme vektorově, parametrickými rovnicemi

  • {s_1=r sin(\omega t)},
  • {s_2=r cos(\omega t)}........................................................................................................................................................................................( 2 )

Odtud derivováním získáme rychlost:

  • {v_1=r \omega cos(\omega t)},
  • {v_2=-r \omega sin(\omega t)}................................................................................................................................................................................( 3 )

Vektorový součet obou na sebe kolmých složek rychlosti, dává

  • {v=r\omega\sqrt{cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)}=r\omega}..........................................................................................................................................( 4 )

Druhým derivováním získáme zrychlení:

  • {a_1=-r \omega^2 sin(\omega t)},
  • {a_2=-r \omega^2 cos(\omega t)}.............................................................................................................................................................................( 5 )

Vektorový součet obou na sebe kolmých složek zrychlení, dává

  • {a=r\omega^2\sqrt{sin^2(\omega t)+cos^2(\omega t)}=r\omega^2}......................................................................................................................................( 6 )

Protože výsledná rychlost, jak vidno, není funkcí času, znamená to, že se s časem nemění. Jelikož ale výsledné zrychlení vyšlo přesto nenulové, nemůže vektor zrychlení obsahovat žádnou složku rovnoběžnou se směrem vektoru rychlosti (jinak by tato složka pochopitelně přispívala k časové změně rychlosti a rychlost by musela být nutně funkcí času, což ale není). I bez použití analytické geometrie tak docházíme k přirozenému závěru, že vektor celkového zrychlení je v tomto případě pohybu kolmý na vektor rychlosti a tedy na okamžitý směr pohybu hmotného bodu. Z druhého Newtonova zákona ( 1 ) pak můžeme ihned vyjádřit velikost odstředivé síly působící na těleso, jež je tímto vektorem generována:

  • F_n=mr\omega^2............................................................................................................................................................................................( 7 )

Ačkoliv je rovnoměrný pohyb po kružnici jen jedním vysoce speciálním případem z množiny všech možných pohybů hmotného bodu v rovině, dá se ukázat, že jakýkoliv myslitelný pohyb lze ve skutečnosti, za pomoci derivací do druhého řádu, vyjádřit jako součet nekonečně mnoha dílčích pohybů po infinitesimálních úsecích kružnic různého poloměru. Na tento poloměr je přitom kladena jediná podmínka – aby aproximoval poloměr zakřivení grafu analyzované funkce na nějakém okolí vybraného bodu x0, s přesností do 2. řádu Taylorova rozvoje, abychom dokázali spočítat příslušná zrychlení. To zní jako velmi dobrá motivace pro konstrukci těchto, tzv. oskulačních kružnic.

Oskulační kružnice a křivost funkce v bodě[editovat | editovat zdroj]

Mějme tedy dánu funkci g(x)=y a bod x0, v němž má funkce g alespoň 2 derivace, přičemž g″(x) ≠ 0. Kružnice se středem v bodě [a,b] a poloměrem r má rovnici

  • {(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}................................................................................................................................................................( 8 )

Kružnice jako celek tvoří zobrazení v rovině, které zjevně nesplňuje kritéria pro to býti funkcí. Její horní, resp. dolní půlkružnice však již ano. Uvažujme např. horní půlkružnici

  • {f(x)=\sqrt{r^2-(x-a)^2}+b}..........................................................................................................................................................( 9 )

Je-li část této půlkružnice grafem funkce g, pak platí

  • {(x-a)^2+(f(x)-b)^2=r^2}.........................................................................................................................................................( 10 )

Po zderivování obou stran této rovnice a vydělení dvěma, dostaneme

  • {(x-a)+(f(x)-b)f'(x)=0}....................................................................................................................................................( 11 )

a po druhém zderivování máme

  • {1+(f'(x))^2+(f(x)-b)f''(x)=0}.........................................................................................................................................( 12 )

Má-li být f(n)(x0)=g(n)(x0) pro n = 0, 1, 2, musí koeficienty a, b, r splňovat soustavu rovnic

  • {(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2}
  • {(x_0-a)+(y_0-b)y'_0=0}
  • {1+(y'_0)^2+(y_0-b)y''_0=0}............................................................................................................................................................( 13 )

Z druhé rovnice ( 13 ) získáme

  • {x_0-a=-y'_0(y_0-b)}......................................................................................................................................................................( 14 )

a po dosazení do první rovnice ( 13 ) máme

  • {[y'_0(y_0-b)]^2+(y_0-b)^2=(y'_0)^2(y_0-b)^2+(y_0-b)^2=(y_0-b)^2[1+(y'_0)^2]=r^2},........................................( 15 )

odkud

  • {r=|y_0-b|\sqrt{1+(y'_0)^2}}...................................................................................................................................................................( 16 )

Ze třetí rovnice ( 13 ) dostaneme

  • {y_0-b=-\frac{1+(y'_0)^2}{y''_0}}........................................................................................................................................................................( 17 )

Po dosazení poslední rovnice do ( 16 ) a ( 14 ) získáváme hledané parametry oskulační kružnice:

  • {r=\frac{[1+(y'_0)^2]^{3/2}}{|y''_0|}},
  • {a=x_0-\frac{y'_0[1+(y'_0)^2]}{y''_0}},
  • {b=y_0+\frac{1+(y'_0)^2}{y''_0}}.............................................................................................................................................................................( 18 )

Čím je menší poloměr oskulační kružnice, tím je graf funkce g v daném bodě zakřivenější. Zavádí se proto pojem křivost funkce g v bodě x0, coby převrácená hodnota poloměru r oskulační kružnice v tomto bodě:

  • {k=\frac{|y''_0|}{[1+(y'_0)^2]^{3/2}}}...............................................................................................................................................................................( 19 )

Normálové zrychlení a odstředivá síla[editovat | editovat zdroj]

Vrátíme-li se na závěr k naší fyzikální motivaci pojmu oskulační kružnice, pak hledané vyjádření normálové složky zrychlení hmotného bodu, pohybujícího se po dráze g(x) rychlostí v, bude dáno vztahem

  • {a_n=\omega^2r=\frac{v^2}{r}=v^2k=\frac{v^2|g''(x_0)|}{[1+(g'(x_0))^2]^{3/2}}},...........................................................................................................................( 20 )

a jemu odpovídající odstředivá síla tedy bude

  • {F_n=\frac{mv^2|g''(x_0)|}{[1+(g'(x_0))^2]^{3/2}}}.....................................................................................................................................................................( 21 )