Ortodroma

Ortodroma - nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše.

Ortodroma (řecky orthos - přímý, dromos - cesta) je nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše (např. povrchu Země). Tvoří ji kratší oblouk hlavní kružnice (její střed splývá se středem Země). V gnómonické projekci se ortodroma zobrazuje jako přímka.

Ortodroma je sice nejkratší spojnicí dvou bodů, v navigaci je ale výhodnější použít loxodromu. Její dráha totiž udržuje stále stejný úhel s poledníkem (azimut), na rozdíl od ortodromy, u které se azimut obecně mění.

Délky ortodromy

Určení délky ortodromy vychází ze sférické trigonometrie. Označme $[\varphi_1; \lambda_1]\,$ a $[\varphi_2; \lambda_2]\,$ souřadnice krajních bodů ortodromy a $\sigma\,$ její délku. Délku pak můžeme ze sférické kosinové věty pro strany jako:

$\sigma= \arccos\left(\sin\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2 - \lambda_1)\right)$

Vzdálenost bodů A a B (označíme jako d) se pak spočítá jako:

$d= \mathbf \sigma\cdot\mathbf r$

kde délku $\sigma\,$ musíme dosadit v radiánech. Pro dosazení ve stupních by platilo:

$d= \frac{2\pi}{360} \cdot\mathbf \sigma\cdot\mathbf r$

Azimut ortodromy

Azimut ortodromy se průběžně mění. Důležitý je zejména výchozí azimut $\alpha\,$. Ze sinové věty pro sférický trojúhelník pro něj dostaneme

$\sin \alpha = \frac{\cos \varphi_2}{\sin \sigma} \sin (\lambda_2 -\lambda_1)$,

kde $\sigma\,$ je dříve vypočtená délka ortodromy.

Obě strany rovnice vydělíme $\cos \alpha$ a po aplikaci sinuskosinové věty dostáváme:

$\mbox{tg } \alpha = \frac{\cos \varphi_2 \cdot\sin (\lambda_2 -\lambda_1)}{\sin\varphi_2\cdot\cos\varphi_1 - \sin\varphi_1\cdot\cos\varphi_2\cdot\cos (\lambda_2 -\lambda_1)}$

Vztah mezi ortodromou a loxodromou

• délka loxodromy mezi dvěma body je vždy větší nebo rovna délce ortodromy
• loxodroma a ortodroma jsou stejně dlouhé, pokud oba zvolené body leží na rovníku nebo pokud je azimut roven velikosti 0° či 180° (tedy loxodroma odpovídá poledníku)
• největší rozdíl mezi délkami ortodromy a loxodromy nastává ve chvíli, kdy zvolené body leží na stejné rovnoběžce (kromě rovníku) a azimut je tedy roven 90° nebo 270°
• na severní polokouli je loxodroma jižněji než ortodroma, na jižní polokouli je tomu naopak

Externí odkazy

• Základní pojmy matematické kartografie
• Výpočet ortodromy
• Příklad výpočtu