Ortodroma

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Ortodroma - nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše.

Ortodroma (řecky orthos - přímý, dromos - cesta) je nejkratší spojnice dvou bodů na kulové ploše (např. povrchu Země). Tvoří ji kratší oblouk hlavní kružnice (její střed splývá se středem Země). V gnómonické projekci se ortodroma zobrazuje jako přímka.

Ortodroma je sice nejkratší spojnicí dvou bodů, v navigaci je ale výhodnější použít loxodromu. Její dráha totiž udržuje stále stejný úhel s poledníkem (azimut), na rozdíl od ortodromy, u které se azimut obecně mění.


Délky ortodromy[editovat | editovat zdroj]

Určení délky ortodromy vychází ze sférické trigonometrie. Označme [\varphi_1; \lambda_1]\, a [\varphi_2; \lambda_2]\, souřadnice krajních bodů ortodromy a \sigma\, její délku. Délku pak můžeme ze sférické kosinové věty pro strany jako:

\sigma= \arccos\left(\sin\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2 - \lambda_1)\right)

Vzdálenost bodů A a B (označíme jako d) se pak spočítá jako:

 d= \mathbf \sigma\cdot\mathbf r

kde délku \sigma\, musíme dosadit v radiánech. Pro dosazení ve stupních by platilo:

 d= \frac{2\pi}{360} \cdot\mathbf \sigma\cdot\mathbf r

Azimut ortodromy[editovat | editovat zdroj]

Azimut ortodromy se průběžně mění. Důležitý je zejména výchozí azimut \alpha\,. Ze sinové věty pro sférický trojúhelník pro něj dostaneme

\sin \alpha = \frac{\cos \varphi_2}{\sin \sigma} \sin (\lambda_2 -\lambda_1),

kde \sigma\, je dříve vypočtená délka ortodromy.

Obě strany rovnice vydělíme \cos \alpha a po aplikaci sinuskosinové věty dostáváme:

\mbox{tg } \alpha = \frac{\cos \varphi_2 \cdot\sin (\lambda_2 -\lambda_1)}{\sin\varphi_2\cdot\cos\varphi_1 - \sin\varphi_1\cdot\cos\varphi_2\cdot\cos (\lambda_2 -\lambda_1)}

Vztah mezi ortodromou a loxodromou[editovat | editovat zdroj]

  • délka loxodromy mezi dvěma body je vždy větší nebo rovna délce ortodromy
  • loxodroma a ortodroma jsou stejně dlouhé, pokud oba zvolené body leží na rovníku nebo pokud je azimut roven velikosti 0° či 180° (tedy loxodroma odpovídá poledníku)
  • největší rozdíl mezi délkami ortodromy a loxodromy nastává ve chvíli, kdy zvolené body leží na stejné rovnoběžce (kromě rovníku) a azimut je tedy roven 90° nebo 270°
  • na severní polokouli je loxodroma jižněji než ortodroma, na jižní polokouli je tomu naopak


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]