Operace (matematika)

Operace v matematice, logice a informatice je postup, který na základě daných vstupů (nazývaných též argumenty, vstupní hodnoty nebo operandy) vyprodukuje jednu nebo více^[zdroj⁠?] hodnot (nazývaných též výstupní hodnoty, výsledky nebo výstupy). Nejčastěji se vyskytující operace jsou unární operace a binární operace. Unární operace vyžaduje jen jednu vstupní hodnotu (příkladem jsou trigonometrické funkce), zatímco binární operace vyžaduje dvě vstupní hodnoty (příkladem jsou třeba sčítání, odčítání, násobení nebo dělení).

Operace se ale nemusí týkat jen čísel, například v logice se můžou hodnoty pravda a nepravda spojovat operacemi konjunkce a disjunkce, vektory v lineární algebře se můžou sčítat a odčítat, množiny v teorii množin se můžou sjednocovat a pronikat a funktory v teorii kategorií se můžou skládat.

Operace nemusí být nutně definované pro všechny myslitelné hodnoty. Například operace dělení není pro reálná čísla definována, pokud je druhý argument 0. Argumenty, pro které je operace definována, tvoří definiční obor a hodnoty, které mohou být operací vyprodukovány, tvoří obor hodnot.

Formální definice

Operace je zobrazení z kartézského součinu nějakých množin do kartézského součinu nějakých množin. Formálně zapsáno je tedy operace ω zobrazení typu $A_{1}\times \dots \times A_{n}\rightarrow A_{n+1}\times \dots A_{m}$ kde $A_{i}$ jsou množiny. Z formálního hlediska není kladen požadavek na nenulovou aritu kartézského součinu, je tedy možno uvažovat operace, které nemají vstup nebo výstup.

Algebraická operace

V algebře je pojem operace chápán v užším smyslu: n-ární operací nad množinou A rozumíme jako zobrazení z Aⁿ do A, přičemž Aⁿ označuje n-násobný kartézský součin $A\times A\times \dots \times A$ (pro libovolné n$\geq 0$).

Arita operace

Na tuto kapitolu jsou přesměrována hesla arita a árnost.

Arita operace (česky místnost operace) je rovna aritě kartézského součinu vstupu, tzn. obsahuje-li vstup $n$ množin, pak říkáme, že operace je $n$-ární.

Pro $n=0$ jde o operace nulární. Formálně jde o předpis, který bez vstupu vrátí hodnotu. Na konstanty je někdy (například ve funkcionálním programování) výhodné nahlížet jako na nulární operace.

Pro $n=1$ jde o operace unární. Unární operace transformují jeden prvek množiny $A$ na prvek množiny $B$. Mezi unární operace patří např. změna znaménka, absolutní hodnota čísla, nebo operace identity, která přiřazuje každému prvku $a\in A$ stejný prvek $a$.

Pro $n=2$ se jedná o operace binární. Binární operace přiřazují každé dvojici prvků prvek nějaké množiny. Sčítání, odčítání, násobení, dělení nebo mocnění patří mezi binární operace.

Pro $n=3$ se jedná o ternární operaci. Ta přiřazuje každé trojici prvků prvek nějaké množiny. Ternární operací je například operátor ?: programovacích jazyků C nebo Java, ale také zápis if … then … else … používaný ve funkcionálních programovacích jazycích.

Operace vyšších arit se vyskytují především v programovacích jazycích, kde jsou nazývány funkce, metody nebo procedury (procedura je operace s prázdným oborem hodnot,^[zdroj⁠?] anebo naopak podprogram, který sice má vstupy, ale zato je bez vlastního výstupu, nevrací žádnou hodnotu).

Příklady operací

Aritmetické operace

Mezi základní operace s čísly, tzv. aritmetické operace (početní operace) řadíme unární funkce opačné číslo, absolutní hodnota, převrácená hodnota atd. a binární funkce sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování.

Logické operace

Operace na výrocích, například unární logická operace negace, nebo binární operace konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, XOR, NAND a NOR.

Lineární algebra

Ve vektorovém prostoru jsou definovány operace opačný vektor (unární) a skládání vektorů, skalární a vektorový součin (binární).

Operace na funkcích

Na množině zobrazení je unární operací inverzní zobrazení a binárními operacemi je skládání zobrazení.

Uzavřenost množiny na operaci

Řekneme, že podmnožina $M\subset A$ je uzavřená vůči algebraické operaci ω , pokud tato operace vrátí hodnotu z M, kdykoli její argumenty patří do M.

Formálněji: Je-li $M\subset A$ množina, $n\in \mathbb {N} ^{+}\,\!$ přirozené číslo a f zobrazení, jehož definiční obor obsahuje jako svou podmnožinu kartézský součin $M^{n}\,\!$, potom M je uzavřená na operaci f , pokud $\forall a_{1},a_{2}\ldots a_{n}\in M,f(a_{1},a_{2}\ldots a_{n})\in M\,\!$.

Tento pojem je jiný než pojem uzavřená množina z topologie a matematické analýzy.

Příklad

Uvažujme například vektorový prostor $\mathbb {R} ^{2}$ nad prostorem reálných čísel. Podmnožina

$M=\{(x,y);\,x+y=0\}$

je uzavřená na sčítání vektorů, neboť pro $(x,y)\in M$ a $(x',y')\in M$ je i $(x+x',y+y')\in M$.

Podmnožina

$M=\{(x,y);\,x+y=1\}$

ale vzhledem ke sčítání uzavřena není.

Využití v matematice

Podstrukturu algebraické struktury (například podgrupu, podsvaz apod.) tvoří právě ty podmnožiny, které jsou uzavřeny na všechny operace. Například podmnožina grupy tvoří podgrupu právě když jsou všechny grupové operace uzavřené na danou podmnožinu. Při ověřování nelze vynechat nulární operace (jinak bychom např. množinu všech celých čísel větších než 10 mohli mylně považovat za podmonoid monoidu (Z, +, 0) všech celých čísel).