Operátor hustoty

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Operátor hustoty (též matice hustoty nebo statistický operátor) je operátor používaný pro popis kvantového stavu systému. Na rozdíl od vlnové funkce je obecnější, protože kromě čistých kvantových stavů popisuje i měřitelné vlastnosti statistických souborů kvantových stavů, tedy případ, kdy pracujeme se směsí různých kvantových stavů, které jsou zastoupeny s jistými pravděpodobnostmi. Takové statistické soubory se nazývají smíšenými stavy.

Operátor hustoty se široce používá v teorii dekoherence a obecně v teorii otevřených kvantových systémů, kdy se systém nevyvíjí koherentně, tj. podle Schrödingerovy rovnice, ale je průběžně měřen svým okolím. V takovém případě nelze formalismus vlnové funkce využít, protože systém je procesem měření z čistého kvantového stavu pomalu přeměňován na stav smíšený.

Matematické zavedení[editovat | editovat zdroj]

Mějme statistickou směs kvantových stavů (smíšený stav), kde se s pravděpodobností p_i nalézá systém v čistém stavu |\psi_i\rangle, pak operátor hustoty W (někdy také \rho), definujeme jako

W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i |,

kde

\sum_i p_i = 1\;.

Jestliže je stavový vektor |\psi\rangle reprezentován sloupcovou maticí, pak je W maticí čtvercovou, jejíž dimenze odpovídá dimenzi Hilbertova prostoru systému.

Dá se dokázat, že normalizační podmínka pro součet pravděpodobností je ekvivalentní podmínce pro stopu matice

\operatorname{Tr}\, W = 1.

Pokud jsou všechny pravděpodobnosti p_i kromě jedné rovny nule, potom operátor hustoty popisuje čistý kvantový stav. Podobně jako se vlnový vektor může nacházet v superpozici stavů, může i operátor hustoty čistého stavu být v dané bázi nediagonální. Jedině pro čisté stavy však bude platit podmínka

\operatorname{Tr}\, W^2=1\;,

což snadno nahlédneme převedením operátoru hustoty do báze, ve které je diagonální. (Čistý stav musí mít všechny vlastní hodnoty kromě právě jedné rovny nule.)

Měření systému ve smíšeném stavu[editovat | editovat zdroj]

Máme-li určitou pozorovatelnou popsanou operátorem \hat{A}, pak je střední hodnota získaná při jejím měření ve stavu popsaném W dána jako

\langle \hat{A} \rangle = \operatorname{Tr}\, W \hat{A}.

Pravděpodobnost naměření hodnoty a_j je pak dána jako:

w_{a_j}=\sum_i p_i \langle \psi_i | \hat{P}_{a_j} | \psi_i \rangle = \operatorname{Tr} W\hat{P}_{a_j}=\operatorname{Tr} \hat{P}_{a_j}W\hat{P}_{a_j}

Kde operátor \hat{P}_{a_j} je projekční operátor do podprostoru odpovídajícího vlastní hodnotě a_j, tedy \hat{P}_{a_j}=|a_j\rangle \langle a_j|, pokud je vlastní hodnota nedegenerovaná. V maticové reprezentaci jsou pravděpodobnosti dány čtverci diagonálních elementů matice hustoty.

Časový vývoj smíšeného stavu[editovat | editovat zdroj]

Je-li vývoj čistého stavu popsán evolučním operátorem \hat{U}(t,t_0), tedy platí

|\psi(t)\rangle =\hat{U}(t,t_0) |\psi(t_0)\rangle

Pak je vývoj stavu W = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i | popsaný výrazem:

W(t)= \sum_i p_i \hat{U}(t,t_0)|\psi_i (t_0)\rangle \langle \psi_i (t_0)| \hat{U}^+(t,t_0)= \hat{U}(t,t_0) W(t_0)\hat{U}^+(t,t_0)

Vidíme tedy, že pravděpodobností p_i se s časem nemění. Na systému samozřejmě během evoluce nebylo provedeno žádné měření. Derivováním této rovnosti získáme evoluční rovnici pro smíšený stav

\frac{\mathrm{d} W(t)}{\mathrm{d}t}= \frac{1}{i \hbar} [\hat{H}(t),W(t)],

kde \hat{H} je Hamiltonián systému v daném čase. Tato rovnice se nazývá Liouvilleova, nebo Liouville-von Neumannova.

Statistické aplikace[editovat | editovat zdroj]

Máme-li systém popsaný hamiltoniánem \hat{H}, který se nalézá v tepelné lázni o teplotě T (kanonický statistický soubor), pak je stav systému dán operátorem

W=\exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})/Z\;,

kde T je termodynamická teplota systému a k_B je Boltzmannova konstanta. Kanonická partiční suma Z je dána normovací podmínkou

Z=\operatorname{Tr}\, \exp (-\frac{1}{k_B T} \hat{H})

Což je totéž, jako

Z=\sum_i g_i \exp (-\frac{1}{k_B T} \epsilon_i),

kde \epsilon_i jsou velikosti energetických hladin (vlastních hodnot hamiltoniánu) a g_i jejich degenerace.