Zobecněná souřadnice

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
Konkrétní problémy: Domnívám se, že srozumitelnost je nedostatečná - co přesně si pod systémem představit. Chybí příklad. Navrhuji založit článek "Mechanický systém", který to vysvětlí. (viz tato diskuse)

Jako zobecněné souřadnice (někdy též obecné souřadnice) se označuje skupina souřadnic použitých k popisu fyzikálního systému. Zobecněné souřadnice nemusí mít fyzikální rozměr délky nebo času. Používají se zvláště v teoretické mechanice.

Nezávislé zobecněné souřadnice

Při řešení určitého fyzikálního problému je výhodné, pokud je možné zvolit zobecněné souřadnice tak, aby byly nezávislé. Tento postup se používá v lagrangeovské mechanice, neboť umožňuje zbavit se těch proměnných, které by bylo nutno vyjádřit pomocí různých vazebných podmínek.

Pro systém s $m$ stupni volnosti a $n$ částicemi, jejichž polohy jsou určeny polohovými vektory $\{\mathbf{r}_i\}$ ve třírozměrném prostoru existuje $3n-m$ rovnic, které omezují složky těchto polohových vektorů. Počet zobecněných souřadnic lze v takovém případě zvolit stejný jako je počet stupňů volnosti $m$. Zobecněné souřadnice $\{ q_1, q_2, ..., q_m\}$ a čas $t$ postačují k popisu systému, jsou-li všechny zobecněné souřadnice vzájemně nezávislé. Návrat k původním souřadnicím (tedy k polohovým vektorům jednotlivých částic) je pak dán transformačními vztahy

$\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1, q_2, ..., q_m, t)$

pro $i = 1,2,...,n$.

Tyto transformace umožňují při práci s komplikovanými systémy použít vhodnější souřadnice a po vyřešení problému se vrátit zpět k původním souřadnicím. Pomocí těchto rovnic lze vytvořit diferenciály, např. pro případy virtuálního posunutí nebo zobecněných sil.

Prostor $\mathbf{R}^n$ zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Zobecněná rychlost

Časová změna zobecněné souřadnice určuje zobecněnou rychlost

$\dot{q}_i = \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}$

Rychlosti pohybu jednotlivých částic lze získat použitím transformačních vztahů

$\dot{\mathbf{r}}_i = \sum_{k=1}^m \frac{\part\mathbf{r}_i}{\part q_k}\dot{q}_k$

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Stupeň volnosti
• Virtuální práce
• Konfigurační prostor
• Fázový prostor