Nucené kmitání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nucené (vynucené) kmitání je takové kmitání, které je ovlivňováno vnější silou. Tato vnější síla se označuje jako buzení (budící síla). Budící síla způsobuje změnu vlastních kmitů a způsobuje, že systém kmitá s jiným kmitočtem.

Obsah

1 Rovnice nuceného kmitání
2 Vynucený kmitavý pohyb
- 2.1 Periodické buzení
- 2.2 Energie nucených kmitů
3 Související články

[editovat] Rovnice nuceného kmitání

Diferenciální rovnice nuceného kmitání je nehomogenní. Např. působením budící síly na tlumené harmonické kmity dostaneme

$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + 2b\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2u = f(u,t)$ ,

kde $u$ označuje okamžitou výchylku z rovnovážné polohy, $b$ charakterizuje tlumení, $ω 0$ je úhlová frekvence vlastních kmitů a $f (u, t)$ charakterizuje budící sílu.

[editovat] Vynucený kmitavý pohyb

Působením budící síly $F b$ na tlumený harmonický oscilátor získáme pohybovou rovnici

$m\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + B\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + ku = F_b$ ,

kde $F b$ představuje budící sílu, $m$ hmotnost tělesa.

[editovat] Periodické buzení

Často studovaným případem je periodické buzení, tzn. budící síla se s časem periodicky mění, přičemž se předpokládá, že ji můžeme zapsat ve tvaru

F b = S sinΩ t

Z předchozích vztahů pak dostáváme pohybovou rovnici tlumeného kmitavého pohybu při působení periodické budící síly

$m\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2} + B\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + ku = S\sin\Omega t$

Tato nehomogenní rovnice se liší od pohybové rovnice tlumených harmonických kmitů pouze budící silou na pravé straně. Obecné řešení této rovnice dostaneme, pokud k obecnému řešení homogenní části rovnice připojíme partikulární integrál úplné rovnice, který je vyjádřen sinovou funkcí o stejné frekvenci jako vnější budící síla. Tím získáme řešení ve tvaru

$u = A\mathrm{e}^{-bt}\sin(\omega t+\varphi_0) + A_v\sin(\Omega t+\gamma)$ ,

kde $A$ a $\varphi_0$ jsou integrační konstanty, a $A v$ a $γ$ jsou takové konstanty, jejichž tvar musí zajišťovat, aby druhý člen vztahu vyhovoval úplné rovnici. Úhlová frekvence $ω$ tlumených kmitů je určena vztahem

$\omega = \sqrt{\omega_0^2-b^2}$

Výsledný pohyb oscilátoru je tedy složen z tlumeného kmitavého pohybu, který by oscilátor vykonával bez působení vnější síly, a z netlumených harmonických kmitů s amplitudou $A v$ a fázovým posuvem $γ$ . Amplituda tlumených kmitů s rostoucím časem exponenciálně klesá, tzn. po určité době má na pohyb vliv pouze budící síla, která nutí oscilátor vykonávat nucené kmity, které vyhovují rovnici

u = A v sin(Ω t + γ)

Tento vztah musí splňovat úplnou rovnici, což lze zajistit volbou amplitudy $A v$ a fázového posuvu $γ$ . Jejich hodnoty zjistíme dosazením předchozího vztahu do úplné rovnice, čímž lze získat rovnici

$-mA_v\Omega^2\sin(\Omega t+\gamma) + 2bmA_v\Omega\cos(\Omega t+\gamma) + m\omega_0^2A_v\sin(\Omega t+\gamma) = S\sin\Omega t$

Tato rovnice musí být splněna pro všechna $t$ . Zvolíme-li čas $t$ tak, že $Ω t + γ = 0$ a $\Omega t+\gamma=\frac{\pi}{2}$ , dostaneme rovnice

2 b m A v Ω = - S sinγ

$-mA_v\Omega^2+mA_v\omega_0^2 = S\sin(\frac{\pi}{2}-\gamma) = S\cos\gamma$

Úpravou těchto rovnic pak získáme

$A_v = \frac{\frac{S}{m}}{\sqrt{{(\omega_0^2-\Omega^2)}^2+4b^2\Omega^2}}$

$\operatorname{tg}\,\gamma = -\frac{2b\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$

Je vidět, že amplituda nucených kmitů je úměrná budící síle. Amplituda nucených kmitů se zvětšuje, pokud se zmenšuje rozdíl mezi vlastní frekvencí oscilátoru $ω 0$ a frekvencí budící síly $Ω$ . Při konstantním $S$ bude amplituda nucených kmitů $A v$ maximální tehdy, pokud bude výraz pod odmocninou ve jmenovateli výrazu pro $A v$ minimální. Jeho derivací dostaneme $-4\Omega(\omega_0^2-\Omega^2)+8b^2\Omega$ , což položíme rovno nule.

První řešení $Ω 1 = 0$ je případem, kdy nucené kmity nevznikají a oscilátor pouze změní svou rovnovážnou polohu o $\frac{S}{k}$ . Jedná se o případ, kdy budící síla je konstantní. Výchylka, kterou tato konstantní síla způsobí, se označuje jako statická výchylka.

Minimální hodnotu udává druhé řešení

$\Omega_r = \Omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 - 2b^2}$

Při této frekvenci budící síly je amplituda nucených kmitů maximální, říkáme, že vlastní a nucené kmity jsou v rezonanci.

Z vyjádření $A v$ je vidět, že pro netlumený oscilátor, tzn. $b = 0$ , roste pro $Ω = ω$ amplituda nucených kmitů nade všechny meze, tzn. $A_v\to\infty$ . Nekonečně velkých hodnot by ovšem amplituda nucených kmitů dosáhla až po uplynutí nekonečně dlouhé doby, neboť budící síla konečné velikosti by musela oscilátoru dodat nekonečně velké množství energie, k čemuž by bylo zapotřebí nekonečně dlouhé doby. V praxi se s takovým případem prakticky nesetkáme, poněvadž se vždy vyskytuje nějaký odpor, a konstanta útlumu je tedy větší než nula.

[editovat] Energie nucených kmitů

Pro rychlost nucených kmitů hmotného bodu platí

$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = A_v\Omega\cos(\Omega t+\gamma)$

Průchod rovnovážnou polohou nastává při $Ω t + γ = k π$ . Při průchodu rovnovážnou polohou je tedy kosinus v předchozím vztahu roven jedné. Kinetickou energii lze při průchodu rovnovážnou polohou vyjádřit výrazem

$E_k = \frac{1}{2}m{\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)}^2 = \frac{1}{2}m\Omega^2A_v^2 = \frac{S^2}{2m}\frac{\Omega^2}{{(\omega_0^2-\Omega^2)}^2+4b^2\Omega^2}$

Zavedeme-li substituci $\xi = \frac{\Omega}{\omega}$ , můžeme předchozí výraz přepsat do tvaru

$E_k = \frac{S^2}{2m\omega_0^2}\frac{1}{{\left(\frac{1}{\xi}-\xi\right)}^2 + 4{\left(\frac{b}{\omega_0}\right)}^2}$

Pomocí tohoto vztahu lze určit, při jakém poměru kruhových frekvencí $ξ$ bude mít kinetická energie maximum. Největší hodnotu $E k$ získáme, bude-li jmenovatel mít nejmenší možnou hodnotu, což nastane pro $\frac{1}{\xi}-\xi=0$ . Dostáváme tedy $ξ = 1$ , což znamená $Ω = ω$ .

Pro maximální kinetickou energii oscilátoru pak platí

$E_{k\,\mbox{max}} = \frac{S^2}{8mb^2}$

Na rozdíl od kinetické energie dosahuje amplituda maximální hodnoty při rezonanci. Rozdíl mezi chováním amplitudy a kinetické energie je způsoben tím, že potenciální energie v bodech obratu oscilátoru, která je úměrná čtverci amplitudy, není totožná s kinetickou energií při průchodu oscilátoru rovnovážnou polohou, neboť kmitající soustava není konzervativní a k překonání odporu je nutno dodat jistou energii.

[editovat] Související články

Nucené kmitání

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Rovnice nuceného kmitání

[editovat] Vynucený kmitavý pohyb

[editovat] Periodické buzení

[editovat] Energie nucených kmitů

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje