Nilpotentní prvek

Nilpotentní prvek je v matematice takový prvek $a$ okruhu $R$, u kterého pro nějaké přirozené číslo $n$ platí $a^{n}=0$, tedy jehož nějaká konečná mocnina je rovna nulovému prvku.

Příklady

• V maticovém okruhu čtvercových matic řádu 3 nad reálnými čísly je rovna nulové matici například třetí mocnina matice

  ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

• Ve faktorokruhu $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$, tedy při počítání modulo 8, jsou nilpotentními prvky 2, 4 a 6, protože $2^{3}\equiv 8\equiv 0,4^{2}\equiv 16\equiv 0,6^{2}\equiv 36\equiv 0$

Vlastnosti

• Nilpotentním prvkem nemůže být žádná jednotka.
• Všechny (nenulové) nilpotentní prvky patří mezi dělitele nuly
• V případě komutativních okruhů platí, že všechny nilpotentní prvky tvoří ideál (uzavřenost na sčítání lze nahlédnout z binomické věty), který se nazývá nilradikál. Také platí, že každý prvoideál obsahuje všechny nilpotentní prvky daného okruhu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Nilpotentes Element na německé Wikipedii.