Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek (zkratka NSN, anglicky LCM - Least Common Multiple) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)

1. Zadaná čísla: 15 a 20
2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)

1. Zadaná čísla: 36, 40
2. 36 = 2² × 3²
3. 40 = 2³ × 5¹
4. Výsledek: n(36, 40) = 2³ × 3² × 5¹ = 360

Ukázka se třemi čísly

1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
2. 15 = 3 × 5
3. 20 = 2 × 2 × 5
4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD

Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:

$NSN\left(a,b\right)={\frac {a\times b}{NSD\left(a,b\right)}}$

Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{33}}={\frac {11}{66}}+{\frac {2}{66}}={\frac {13}{66}}$

Zajímavost

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel $a\,\!$ a $b\,\!$ je $x\,\!$, potom lze číslo $a$ rozložit na součin $x\cdot y$ a číslo $b\,\!$ lze rozložit na součin $x\cdot z$. Je-li $x$ skutečně největším společným dělitelem, potom $x\cdot y\cdot z$ je nejmenším společným násobkem. Součin $a\cdot b$ je roven $x\cdot y\cdot x\cdot z$, což je také součin NSD a NSN.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Plej malgranda komuna oblo na esperantské Wikipedii.

Související články

• Největší společný dělitel

Externí odkazy

• do-skoly.cz - Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 - 5 čísel včetně postupu řešení.