Nejmenší společný násobek

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Nejmenší společný násobek (zkratka: NSN, anglicky LCM - Least Common Multiple) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel.

Obsah 1 Příklad 2 Výpočet 2.1 Ukázka 2.2 Ukázka se třemi čísly 3 Využití 4 Zajímavost 4.1 Důkaz 5 Související články 6 Externí odkazy

[editovat] Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

[editovat] Výpočet

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem nejmenšího možného počtu všech prvočísel, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.

[editovat] Ukázka

1. Zadaná čísla: 15 a 20
2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
4. Nejmenší součin musí obsahovat 2 × 2 × 3 × 5, což je 60.

[editovat] Ukázka se třemi čísly

1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
2. 15 = 3 × 5
3. 20 = 2 × 2 × 5
4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
5. NSN = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

[editovat] Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

[editovat] Zajímavost

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

[editovat] Důkaz

Jestliže nejmenší společný dělitel dvou čísel A a B je x, potom lze první číslo A rozložit na součin x·y a druhé číslo B lze rozložit na součin x·z. Je-li x skutečně největším společným dělitelem, potom x·y·z je největším společným násobkem. Součin A·B je roven x·y·x·z, což je také součin NSD a NSN.

[editovat] Související články

• Největší společný dělitel

[editovat] Externí odkazy

• Nejmenší společný násobek: http://www.maths.cz/…