Nejmenší společný násobek

Nejmenší společný násobek (zkratka: NSN, anglicky LCM - Least Common Multiple) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel.

Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem nejmenšího možného počtu všech prvočísel, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.

Ukázka

1. Zadaná čísla: 15 a 20
2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
4. Nejmenší součin musí obsahovat 2 × 2 × 3 × 5, což je 60.

Ukázka se třemi čísly

1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
2. 15 = 3 × 5
3. 20 = 2 × 2 × 5
4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
5. n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

$\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}$

Zajímavost

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel $a\,\!$ a $b\,\!$ je $x\,\!$, potom lze číslo $a$ rozložit na součin $x \cdot y$ a číslo $b\,\!$ lze rozložit na součin $x \cdot z$. Je-li $x$ skutečně největším společným dělitelem, potom $x \cdot y \cdot z$ je nejmenším společným násobkem. Součin $a \cdot b$ je roven $x \cdot y \cdot x \cdot z$, což je také součin NSD a NSN.

Související články

• Největší společný dělitel