Multirozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako multirozklad (multiresolution analysis, MRA) se označuje rozklad signálu f(t) \in L^2(\mathbb{R}) do systému hierarchicky uspořádaných podprostorů \mathbf{V_m}.

Celý prostor spojitých funkcí L^2(\mathbb{R}) lze rozložit do vnořených podprostorů

 \{0\} \dots \subset \mathbf{V_2} \subset \mathbf{V_1} \subset \mathbf{V_0} \subset \mathbf{V_{-1}} \subset \mathbf{V_{-2}} \subset \dots L^2(\mathbb{R}) .

V souvislosti s vlnkovou transformací tvoří systém \{ \phi_{j,n} \}_{n \in \mathbb{Z}} bázi prostoru \mathbf{V_j}. Podstatná je existence ortogonálního doplňku

 \mathbf{V_{j-1}} = \mathbf{V_j} \oplus \mathbf{W_j} .

Zde systém \{ \psi_{j,n} \}_{n \in \mathbb{Z}} tvoří bázi prostoru \mathbf{W_j}. Z výše uvedených vztahů vyplývá, že \{ \psi_{j,n} \}_{j,n \in \mathbb{Z}^2} je báze prostoru L^2(\mathbb{R}) a tedy

 L^2(\mathbb{R}) = \oplus_{j=-\infty}^{+\infty} \mathbf{W_j} .

Pro lepší představu lze hierarchii popsat následovně.

 L^2(\mathbb{R}) = \underbrace{{\underbrace{\dots \oplus \mathbf{W_2}}_{\mathbf{V_1}}} \oplus \mathbf{W_1}}_{\mathbf{V_0}} \oplus \mathbf{W_0} \oplus \mathbf{W_{-1}} \oplus \mathbf{W_{-2}} \oplus \dots

Multirozklad vyžaduje platnosti tzv. dilatačních rovnic

\begin{align}
\phi(t) = \sqrt{2} \sum_{n} h(n) \phi(2t-n) \\
\psi(t) = \sqrt{2} \sum_{n} g(n) \phi(2t-n)
\end{align}.

S jeho pomocí lze také vyjádřit vlnkové řady a diskrétní vlnkovou transformaci podle Mallatova schématu.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • MALLAT, Stéphane. A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way. With contributions from Gabriel Peyré. 3. vyd. [s.l.] : Academic Press, c2009. xx, 805 s. ISBN 9780123743701. (anglicky)