Mortonův rozklad

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
První čtyři iterace Mortonova rozkladu
Mortonův rozklad dvourozměrné matice 8×8

Mortonův rozklad (též Mortonova Z-křivka, Morton scan order, Z-order curve) je prostor vyplňující křivka, která udává lineární pořadí průchodu vícerozměrným prostorem. Jinými slovy mapuje vícerozměrný prostor do jednorozměrného. Poprvé ji v roce 1966 představil zaměstnanec kanadské IBM Guy M. Morton.[1]

Užití[editovat | editovat zdroj]

Své užití má například při indexování vícerozměrných dat (pak je možné použít algoritmy pro indexování dat jednorozměrných) nebo při implementaci průchodu stromem koeficientů vzniklých vlnkovou transformací (viz algoritmus SPIHT). Algoritmy výpočtu této křivky využívají jejího rekurzivního charakteru.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Graf Mortonova rozkladu:

  • je křivka vyplňující prostor
  • vyplňuje 2D prostor beze zbytku (na rozdíl např. od dračí smyčky)
  • pro x, y ∈ N+ vyplňuje postupně I. kvadrant
  • nikde se neprotíná
  • do každé liché hrany směřuje křivka „doprava“ (o jednotku délky v kladném směru osy x)
  • po každé 4n. hraně křivka vyplní čtverec o straně n (dokončí n. iteraci) a přesouvá na první pozici čtyřnásobně velkého čtverce, o vektor (1; n)
  • po každé 2n+1. hraně křivka dokončí vyplňování čtverce o straně (n div 4) a přesouvá na první pozici stejně velkého čtverce, o vektor (-n div 4; -1). (div = dělení beze zbytku)
  • to, že výše zmíněné vektory rostou spolu s n, se v grafu jeví hranami neustále se přibližujícími vertikále nebo horizontále a dá se to považovat za prvek ne tolik lahodící oku, kterými většina prostor-vyplňujících křivek netrpí, neboť ty se posunují o jednotkovou délku.

Rekurzivní výpočet[editovat | editovat zdroj]

V programovacím jazyku C:

void ezw_xy(int level, int x, int y, int n)
{
	if (0 == level) {
		echo(0, 0, n);
		return;
	}
 
	if (level > 1) {
		ezw_xy(level‐1, 2*(x  ), 2*(y  ), n);
		ezw_xy(level‐1, 2*(x+1), 2*(y  ), n);
		ezw_xy(level‐1, 2*(x  ), 2*(y+1), n);
		ezw_xy(level‐1, 2*(x+1), 2*(y+1), n);
		return;
	}
 
	echo(x  , y  , n);
	echo(x+1, y  , n);
	echo(x  , y+1, n);
	echo(x+1, y+1, n);
}
 
void ezw(int level)
{
	ezw_xy(level, 0, 0, 1<<level);
}
 
// pro matici 8×8
ezw(log2(8));

Výpočet bez rekurze[editovat | editovat zdroj]

Ve skriptovacím jazyku PHP (nakreslí Mortonovu křivku pro prvních 1024 pozic).

header("Content-type: image/png");
define('STEP',20);
$image=imagecreatetruecolor(640,640);
for($j=$x=$y=0;$j<1024;$j++){
	$oldx=$x; $oldy=$y;
	for($x=$y=$level=$i=0,$n=$j;$n;$i++,$n>>=2){
		$x+=($n&1)<<$level;
		$y+=($n&2?1:0)<<$level;
		if(!(($i>>1)&(($i>>1)-1)))
			$level++;
	}
	imageline($image,STEP/2+$oldx*STEP, STEP/2+$oldy*STEP,
			STEP/2+$x*STEP, STEP/2+$y*STEP, imagecolorallocate($image,255,0,0));
}
imagepng($image);

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Morton, G. M. (1966), A computer Oriented Geodetic Data Base; and a New Technique in File Sequencing, Technical Report, Ottawa, Canada: IBM Ltd.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]