Morleyova věta o kategoričnosti

Morleyova věta o kategoričnosti je jednou z nejdůležitějších vět teorie modelů. Dokázal ji roku 1962 americký matematik Michael Darwin Morley ve své disertační práci s názvem „Categoricity in Power“. Tuto větu později zobecnil Saharon Shelah.

Znění věty

Kategorická teorie

Řekneme, že teorie T je kategorická v kardinalitě $\kappa$ ( $\kappa$ -kategorická), jsou-li každé dva modely T mohutnosti $\kappa$ izomorfní.

Morleyova věta pro spočetný jazyk

Původní znění Morleyovy věty z roku 1962 je následující:

Nechť T je teorie v jazyce spočetné kardinality a nechť T je kategorická v nějaké nespočetné kardinalitě. Pak je T kategorická v každé nespočetné kardinalitě.

Shelahovo zobecnění pro libovolný jazyk

Saharon Shelah zobecnil původní Morleyovu větu i na teorie s nespočetným jazykem:

Nechť T je teorie v jazyce kardinality $\lambda$ a nechť T je kategorická v nějaké kardinalitě $\kappa >\lambda$ . Pak T je kategorická v každé kardinalitě $\kappa >\lambda$ .

Příklady

Teorie algebraicky uzavřených těles dané charakteristiky p (p=0 nebo prvočíslo) je kategorická v kardinalitě $2^{\aleph _{0}}$ (viz funkce alef), tedy je podle Morleyovy věty kategorická v každé nespočetné kardinalitě, $\aleph _{0}$ -kategorická však není.
Teorie čisté rovnosti je kategorická ve všech (včetně konečných) kardinalitách.
Teorie hustého lineárního uspořádání bez konců je $\aleph _{0}$ -kategorická, ale není kategorická v žádné nespočené kardinalitě.
Stejně tak teorie v jazyce obsahujícím jediný unární predikátový symbol E s axiomy

„existuje nekonečně mnoho x takových ,že E(x)“, „existuje nekonečně mnoho x takových, že $\neg E(x)$ “ je $\aleph _{0}$ -kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě.

Vlastnosti kategorických teorií

Pokud je teorie kategorická v nějaké nekonečné kardinalitě a nemá konečné modely, pak je již úplná. To plyne z Löwenheim-Skolemovy věty.

Související články