Morerova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Morerova věta je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Přesné znění[editovat | editovat zdroj]

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník \Delta\subseteq G je \oint_{\part\Delta}f=0, kde \part\Delta je hranice trojúhelníku \,\Delta.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě z_0\in G. Volme okolo z_0 kruh K\subseteq G. Definujme na K funkci F vztahem

F(z)=\oint_{\overline{z_0,z}}f, kde \overline{z_0,z}(t)=z_0+(z-z_0)\cdot t;\;t\in <0,1> je parametrizace úsečky \overline{z_0,z}.

F díky předpokladu \oint_{\part\Delta}f=0 splňuje \,F'=f na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v z_0.

Důsledky[editovat | editovat zdroj]

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]