Minkowského prostor

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru $\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}$ má 4 souřadnice

$a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.$

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta $t$, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím $x,y,z$. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu $c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}$. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá $c=1$. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru ($\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}$ ) je definován vztahem

$\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.$

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

$||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2$

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí $||\mathbf{a}||^2=\pm 1$.

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory $\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$, pro které platí

$-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.$

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

$\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,$

kde $\eta$ je diagonální matice

$\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)= \begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.$

Související články

• Vektorový prostor
• Čtyřvektor
• Lorentzova transformace

Externí odkazy

• (anglicky)  Minkowského prostor v encyklopedii MathWorld