Minimální polynom (lineární algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V lineární algebře se rozumí minimálním polynomem čtvercové matice A řádu n nad tělesem T monický polynom p(x) co nejmenšího stupně takový, že p(A)=0. Každý jiný polynom q(x) splňující q(A)=O je pak násobkem polynomu p.

Pro minimální polynom a prvek \lambda \in T jsou následující tvrzení ekvivalentní:

  1. \lambda je kořen p(x)
  2. \lambda je kořen charakteristického polynomu matice A
  3. \lambda je vlastní číslo matice A

Z toho nevyplývá, že jsou minimální a charakteristický polynom vždy stejné. Například 4I_n (čtyřnásobek jednotkové matice řádu n) má charakteristický polynom (x-4)^n, ale minimální polynom x-4 (neboť 4I_n-4I_n=0), tedy pro n\ge 2 jsou v tomto případě charakteristický a minimální polynom různé.