Metoda násobení základem

Metoda násobení základem je metoda určená pro převod desetinných čísel mezi soustavami. Metoda je určena pro čísla menší než 1 a spočívá v opakovaném násobení základem cílové soustavy a sepisování číslice na pozici jednotek.

Postup [editovat]

Mějme číslo $N_A$ v soustavě o základu $r_A$ na $m$ platných číslic vyjádřené polynomem jako

$N_A = \sum_{i=-1}^{-m}a_i{\cdot}r_A^i = a_{-1}{\cdot}r_A^{-1}+a_{-2}{\cdot}r_A^{-2}+\cdots+a_{-m}{\cdot}r_A^{-m}\,\!$ , kde $N_A < 1\,\!$

Chceme jej vyjádřit v soustavě o základu $r_B$ jako

$N_B = \sum_{i=-1}^{-n}b_i{\cdot}r_B^i = b_{-1}{\cdot}r_B^{-1}+b_{-2}{\cdot}r_B^{-2}+\cdots+b_{-n}{\cdot}r_B^{-n}\,\!$

Vztah lze přepsat podle základu soustavy, do které chceme číslo převést tak, aby se základy vyskytovaly bez mocnin

$N_A = r_B^{-1}{\cdot}(a_{-1}+r_B^{-1}{\cdot}(a_{-2}+{\ldots}+r_B^{-1}{\cdot}(a_{-n-1}+r_B^{-1}{\cdot}a_{-n}))) = 0{,}b_{-1}b_{-2}{\ldots}b_{-n} = N_B\,\!$

Postupně tedy násobíme číslo $N_A$ základem $r_B$ a dostaneme první desetinnou číslici $b_{-1}$ (číslici sepíšeme) a nový dílčí součin $S$

$N_A \cdot r_B = b_{-1} + b_{-2}{\cdot}r_B^{-1}+b_{-3}{\cdot}r_B^{-2}+\cdots+b_{-n}{\cdot}r_B^{-n+1} = b_{-1} + S$

Dalším násobením dostaneme $b_{-2}$ atd. Postup opakujeme do požadované přesnosti nebo dokud není dílčí součin nulový. Dostaneme desetinné číslo zapsané pozičně.

Příklad [editovat]

Převod čísla $(0{,}6875)_{10}\,\!$ do binární soustavy.

násobení		součin	rozepsáno	význam
$(0{,}6875)_{10}{\cdot}2\,\!$	$=\,\!$	$1{,}375\,\!$	$1 + 0{,}375\,\!$	nejvíce významná číslice
$(0{,}375)_{10}{\cdot}2\,\!$	$=\,\!$	$0{,}75\,\!$	$0 + 0{,}75\,\!$
$(0{,}75)_{10}{\cdot}2\,\!$	$=\,\!$	$1{,}5\,\!$	$1 + 0{,}5\,\!$
$(0{,}5)_{10}{\cdot}2\,\!$	$=\,\!$	$1{,}0\,\!$	$1 + 0{,}0\,\!$	nejméně významná číslice