Maupertuisův princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Maupertuisův princip označuje ve fyzice speciální případ principu nejmenší akce. Jde o formulaci pohybových rovnic klasické mechaniky ve tvaru integrálních rovnic s využitím variačního počtu.

Tento princip zformuloval Pierre Louis Maupertuis, do jeho konečné formulace však zasáhli také další, např. Fermat (s Fermatovým principem), Euler a především Hamilton, který jej zobecnil a formuloval jako Hamiltonův princip.

Maupertuisův princip představuje jeden z nejstarších variačních principů mechaniky.

[editovat] Formulace principu

Jestliže Hamiltonova funkce nezávisí explicitně na čase, tzn. platí zákon zachování energie, lze pro pohyby se stejnou energií $\mathcal{E}$ vyjádřit pomocí Lagrangeovy funkce ve tvaru

$\mathcal{L} = \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{E}$ ,

kde $\mathbf{q}$ jsou zobecněné souřadnice a $\mathbf{p}$ jsou zobecněné hybnosti.

Funkcionál akce je pak možné zapsat jako

$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}\mathrm{d}t = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} \mathrm{d}t - \mathcal{E}(t_2-t_1) = \mathbf{S}_0 - \mathcal{E}(t_2-t_1)$

kde $\mathbf{S}_0$ označuje redukovanou akci.

Pro variací akce $\mathcal{S}$ dostaneme

$\delta\mathcal{S} = \delta\mathcal{S}_0 - \mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)$

Z Lagrangeových rovnic bychom však obdrželi

$\delta\mathcal{S} = -\mathcal{E}(\delta t_2-\delta t_1)$

Srovnáním těchto vztahů dostaneme

$\delta\mathcal{S}_0 = \delta\int_k \mathbf{p}\cdot\mathrm{d}\mathbf{q} = 0$ ,

kde $k$ je křivka v konfiguračním prostoru spojující počáteční a koncovou polohu systému. Tento vztah představuje matematické vyjádření Maupertuisova principu.

Zapíšeme-li křivku k pomocí parametru $s$ jako $\mathbf{q} = \mathbf{q}(s)$ , pak lze zobecněnou hybnost vyjádřit jako

$\mathbf{p} = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right) = \mathbf{p}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t},\mathbf{q}\right)$

a z vyjádření Hamiltonovy funkce pak dostaneme

$H\left(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}\right) = H\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathbf{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) = \mathcal{E}$

Pokud z tohoto vztahu vypočteme $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ a dosadíme do předchozích vztahů, dostaneme variační princip ve tvaru

$\delta\int \mathcal{F}\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}s},\mathcal{E}\right) \mathrm{d}s = 0$

Tento variační princip umožňuje určení trajektorie systému $\mathbf{q}(s)$ mezi počáteční a koncovou polohou při dané energii $\mathcal{E}$ .

Např. pro Lagrangeovu funkci ve tvaru $\mathcal{L} = a_{ij}\left(q^k\right) \dot{q}^i\dot{q}^j - V(q^k)$ je

$\mathcal{F} = \sqrt{2(\mathcal{E}-V) a_{ik} \frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}q^k}{\mathrm{d}s}}$

kde $V$ i $a i k$ jsou funkcemi $q j$ .

[editovat] Vztah k Hamiltonovu principu

Maupertuisův princip je speciální případem Hamiltonova principu. Na rozdíl od Hamiltonova principu se v tomto případě vychází z redukované akce. Hamiltonův princip určuje trajektorii jako funkci času, zatímco v případě Maupertuisova principu je řešením pouze tvar trajektorie v zobecněných souřadnicích. Maupertuisův princip také vyžaduje, aby podél celé trajektorie platil zákon zachování energie, což je podmínka, kterou Hamiltonův princip nepotřebuje.

[editovat] Související články

Maupertuisův princip

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Formulace principu

[editovat] Vztah k Hamiltonovu principu

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích