Maticový počet

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice, maticový počet je speciální zápis pro realizaci matematického počtu více proměnných, zvláště v maticových prostorech. Shromažďuje různé parciální derivace jedné funkce s ohledem na více proměnných, a/nebo parciální derivace funkce více proměnných s ohledem na jednu proměnnou, do vektorů a matic, které mohou být považovány za jednu entitu. To značně zjednodušuje operace jako hledání maxima nebo minima funkce více proměnných a řešení systému diferenciálních rovnic. Notace (zápis) použitý zde se obvykle používá v statistice a inženýrství, zatímco tenzorová indexová notace se upřednostňuje ve fyzice.

Dvě notační (zápisové) konvence rozdělili obor maticového počtu do dvou separátních skupin. Tyto dvě skupiny možno rozeznat podle toho, jak zapisují derivaci skaláru s ohledem na vektor jako sloupcový vektor nebo jako řádkový vektor. Obě tyto konvence jsou možné i když se udělá obecný předpoklad, že vektory nutno považovat za sloupcové vektory, když se kombinují s maticemi (dříve než řádkové vektory). Jediná konvence může být poněkud standardní přes jeden obor, který obvykle používá maticový počet (např. ekonometrie, statistika, teorie odhadu a strojové učení. Ale i v daném oboru různí autoři používají odlišné konvence. Autoři obou skupin často píšou jakoby jejich specifická konvence byla standard. Vážné chyby mohou rezultovat při kombinaci výsledků od různých autorů bez pečlivého ověření, že jsou použity kompatibilní notace. Proto je nutno věnovat velkou pozornost zajištění zápisové jednoty. Definice těchto dvou konvencí a porovnání mezi nimi jsou dále v článku.

Rozsah[editovat | editovat zdroj]

Maticový počet označuje několik různých notací, které používají matice a vektory na sběr derivace každého komponentu závislé proměnné s ohledem na každý komponent nezávislé proměnné. Obecně, nezávislá proměnná může být skalár, vektor nebo matice, zatímco závislá proměnná může být cokoliv z toho stejně. Každá odlišná situace povede k odlišné sadě pravidel nebo separátnímu počtu, při použití širšího významu termínu. Maticové notace slouží jako obvyklý způsob sběru mnohých derivací organizovaným způsobem.

Jako první příklad, uvažujte gradient z vektorového počtu. Pro skalární funkci tří nezávislých proměnných, f(x_1, x_2, x_3), gradient je dán vektorovou rovnicí

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \hat{x_1} + \frac{\partial f}{\partial x_2}  \hat{x_2} + \frac{\partial f}{\partial x_3} \hat{x_3},

kde \hat{x_1} reprezentuje jednotkový vektor v \hat{x} směru. Tento typ obecné derivace lze vnímat jako derivaci skaláru f, s ohledem na vektor \mathbf{x} a jeho výsledek lze lehce získat ve vektorové formě.

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = 
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1} &
\frac{\partial f}{\partial x_2} &
\frac{\partial f}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}.

Souvisící články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy (anglicky)[editovat | editovat zdroj]

Česky[editovat | editovat zdroj]

Zdroj[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Matrix calculus na anglické Wikipedii.