Matematický symbol

Matematický symbol je libovolný znak, používaný v matematice. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty, znak pro množinu, prostor, proměnnou a mnoho dalších matematických objektů.

V matematice existují zažité konvence, které symboly se užívají pro konkrétní účel.

Základní matematické symboly [editovat]

Zde je přehled některých základních matematických symbolů a jejich typického užití.

Symbol	Název	Vysvětlení	Příklady
	Čte se
	Oblast použití
=	rovnost	x = y znamená, že x a y reprezentují stejnou hodnotu či objekt.	x = y x = 1 => y = 1
	rovná se
	všude v matematice
≠	nerovnost	x ≠ y znamená, že x a y nereprezentují stejnou hodnotu či objekt.	1 ≠ 2
	nerovná se
	všude v matematice
< > ≪ ≫	ostrá nerovnost	x < y znamená x je menší než y. x > y znamená x je větší než y. x ≪ y znamená x je mnohem menší než y. x ≫ y znamená x je mnohem větší než y.	3 < 4 5 > 4 0.003 ≪ 1000000
	je menší; je větší; je mnohem menší; je mnohem větší
	všude v matematice
≤ ≥	neostrá nerovnost	x ≤ y znamená,že x je menší nebo roven y. x ≥ y znamená x je větší nebo roven y.	3 ≤ 4 and 5 ≤ 5 5 ≥ 4 and 5 ≥ 5
	menší nebo roven; větší nebo roven
	všude v matematice
∝	úměrnost	y ∝ x znamená, že y = kx pro nějakou konstantu k.	jestliže y = 2x, tak y ∝ x
	je úměrná
	všude v matematice
+	sčítání	4 + 6 značí součet 4 a 6.	2 + 7 = 9
	plus
	aritmetika, ale i jinde
−	odčítání	9 − 4 značí rozdíl 9 a 4.	8 − 3 = 5
	mínus, bez
	aritmetika, ale i jinde
	opačné číslo	−3 značí číslo opačné k číslu 3.	−(−5) = 5
	negative; mínus
	aritmetika, ale i jinde
	doplněk množiny	A − B popisuje množinu, která obsahuje všechny prvky množiny A, které nejsou prvky množiny B.	{1,2,4} − {1,3,4} = {2}
	bez; mínus
	teorie množin
×	násobení	3 × 4 znamená součin 3 a 4.	7 × 8 = 56
	krát
	aritmetika
	kartézský součin	X×Y označuje množinu uspořádaných dvojic (x, y) takových, že x je prvkem X a y je prvkem Y.	{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
	kartézský součin ... a ...
	teorie množin
	vektorový součin	u × v znamená vektorový součin vektorů u a v	(1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2)
	cross
	lineární algebra
·	násobení	3 · 4 znamená součin 3 a 4.	7 · 8 = 56
	krát
	aritmetika
	skalární součin	u · v znamená skalární součin vektorů u a v	(1,2,5) · (3,4,−1) = 6
	krát
	lineární algebra
÷ ⁄ :	dělení	6 ÷ 3, 6 ⁄ 3 nebo 6:3 znamená podíl 6 ku 3.	2 ÷ 4 = 0.5 12 ⁄ 4 = 3 20 : 5 = 4
	děleno; ku
	aritmetika
±	plus-minus	6 ± 3 znamená jak 6 + 3 tak 6 − 3.	Rovnice x = 5 ± √4, má dvě řešení, x = 7 a x = 3.
	plus-minus
	aritmetika, algebra
	nepřesnost hodnoty	10 ± 2 značí interval od 10 − 2 do 10 + 2.	Jestliže a = 100 ± 1 milimetr, tak a ≥ 99 mm a a ≤ 101 mm.
	plus-minus
	aproximace; numerické metody
√	odmocnina	$\sqrt[n]{x}$ značí všechna čísla y, pro $y^n$ je $x$ .	$\sqrt{4} = 2$ nebo $-2$
	n-tá odmocnina
	matematická analýza
\|…\|	absolutní hodnota	\|x\| značí vzdálenost (na reálné ose, komplexní rovině) mezi x a počátkem souřadnic.	\|3\| = 3 \|–5\| = \|5\| \| i \| = 1 \| 3 + 4i \| = 5
	absolutní hodnota
	teorie čísel; matematická analýza
	norma vektoru	\|x\| značí normu x.	Pro x = (1,1) je \|x\| = $\sqrt{2}$
	norma
	geometrie; lineární algebra; matematická analýza
	determinant	\|A\|znamená determinant matice A	$\begin{vmatrix} 1&2 \\ 2&4 \\ \end{vmatrix} = 0$
	determinant matice
	lineární algebra
	mohutnost	\|X\| značí počet prvků X.	\|{3, 5, 7, 9}\| = 4.
	kardinalita množiny; mohutnost množiny
	teorie množin
\|	dělitelnost	a\|b znamená, že a dělí b. Tedy, že existuje celé číslo c takové, že c = b/a.	Neboť 15 = 3×5, platí 3\|15 a 5\|15.
	dělí
	teorie čísel
	podmíněná pravděpodobnost	Tento symbol značí pravděpodobnost jednoho jevu za předpokladu stání se druhého jevu. Při $P(B)>0$ lze pravděpodobnost jevu $A$ , která je podmíněna výskytem jevu $B$ vyjádřit jako $P(A\|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\|A \cap B\|}{\|B\|}$	Jestliže P(A)=0.4 a P(B)=0.5, tak P(A\|B)=((0.4)(0.5))/(0.5)=0.4
	za podmínky
	pravděpodobnost
!	faktoriál	n! značí součin 1 × 2 × ... × n.	4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
	faktoriál
	kombinatorika
T	transpozice matice	Záměna sloupců matice za řádky a naopak.	$A_{ij} = (A^T)_{ji}$
	transponováno
	lineární algebra
~	řádková ekvivalence	A~B znamená, že B může být vytvořena z A konečným počtem elemetárních řádkových operací.	$\begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&4 \\ \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&2 \\ 0&0 \\ \end{bmatrix}$
	je řádkově ekvivalentní s
	lineární algebra
	asymptotická ekvivalence	f ~ g odpovídá $\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$ .	x ~ x+1
	je asymptoticky ekvivalentní
	algebra; matematická analýza
≈	aproximace	x ≈ y značí, že x je přibližně rovno y.	π ≈ 3.14159
	je přibližně rovno; je aproximováno
	všude v matematice
	izomorfismus	G ≈ H značí, že grupa G je izomorfní ke grupě H.	ℕ ≈ ℤ
	je izomorfická
	algebra; teorie grup
⇒ →	implikace	A ⇒ B znamená: Platí-li výrok A, tak platí i výrok B; jestliže A neplatí, tak se pravdivosti B nic netvrdí.	x = 2 ⇒ x² = 4 je pravda, ale x² = 4 ⇒ x = 2 obecně není pravda (neboť x může být −2).
	implikuje; vyplývá; jestliže
	matematická logika, ale i jinde
⇔ ↔	ekvivalence	A ⇔ B značí: A je pravda, jestliže B je pravda, a zároveň A je nepravda, jestliže B je nepravda.	x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y
	právě tehdy, když
	matematická logika, ale i jinde
¬	negace	Výraz ¬A je pravda právě tehdy, když A je nepravda.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)
	ne; negace
	matematická logika, ale i jinde
∧	konjunkce	Výraz A ∧ B je pravdivý pouze tehdy, když A a B oba jsou pravdivé; jinak je nepravdivý.	n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3, když n je přirozené číslo.
	a
	matematická logika, ale i jinde
∨	disjunkce	Výraz A ∨ B je pravdivý, jestliže alespoň jeden a výrazů A, B je pravdivý; Jestliže oba jsou nepravdivé, tak je disjunkce nepravdivá.	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3, když n je přirozené číslo.
	nebo
	matematická logika, ale i jinde
∀	univerzální kvantifikátor	∀ x: P(x) značí, že P(x) platí pro všechna x.	∀ n ∈ ℕ: n² ≥ n.
	pro všechna; pro každé
	predikátová logika, ale i jinde
∃	existenční kvantifikátor	∃ x: P(x) znamená, že existuje alespoň jedno x, pro které P(x) je pravdivé.	∃ n ∈ ℕ: n je liché.
	existuje; pro nějaké
	predikátová logika, ale i jinde
∃!	kvantifikátor jednoznačné existence	∃! x: P(x) znamená, že existuje právě jedno x, pro které P(x) je pravdivé.	∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
	existuje právě jedno; pro právě jedno
	predikátová logika, ale i jinde
≅	shodnost	△ABC ≅ △DEF značí, že trojúhelník ABC je shodný (má stejnou velikost odpovídajících stran) s trojúhelníkem DEF.
	je shodný s
	geometrie
≡	kongruence	a ≡ b (mod n) značí, že a a b mají stejný zbytek po dělení n, tedy že a − b je dělitelné n. Existují i jiné třídy kongruence než zbytkové.	5 ≡ 11 (mod 3)
	... je kongruentní s ... (s modulem ...)
	modulární aritmetika, ale i jinde
{ , }	množinové závorky	{a,b,c} označuje množinu o prvcích a, b a c.	ℕ = { 1, 2, 3, …}
	množina ...
	teorie množin
∅ { }	prázdná množina	∅ značí množinu bez prvků. { } značí to stejné.	{n ∈ ℕ : 1 < n² < 4} = ∅
	prázdná množina
	teorie množin
∈ ∉	prvek množiny	a ∈ S značí, že a je prvkem množiny S; a ∉ S značí, že a není prvkem S.	(1/2)⁻¹ ∈ ℕ 2⁻¹ ∉ ℕ
	je prvkem; není prvkem
	teorie množin
⊆	podmnožina	A ⊆ B značí, že každý prvek A je též prvkem B.	(A ∩ B) ⊆ A
	je podmnožinou
	teorie množin
⊂	vlastní podmnožina	A ⊂ B značí, že každý prvek A je též prvkem B a zároveň existuje alespoň jeden prvek B, který není prvkem A. (Někteří autoři užívají tento znak i pro podmnožinu; místo ⊆.)	ℕ ⊂ ℚ ℚ ⊂ ℝ
	je podmnožinou
	teorie množin
⊇	nadmnožina	A ⊇ B značí, že každý prvek B je též prvkem A.	(A ∪ B) ⊇ B
	je nadmnožinou
	teorie množin
⊃	vlastní nadmnožina	A ⊃ B značí, že každý prvek B je též prvkem A.	ℝ ⊃ ℚ
	je nadmnožinou
	teorie množin
∪	sjednocení	A ∪ B popisuje množinu, která obsahuje prvky, které jsou alespoň v jedné z množin A a B.	A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B
	sjednocení množin ... a ...
	teorie množin
∩	průnik	A ∩ B popisuje množinu, která obsahuje prvky, které jsou množinám A a B společné.	{x ∈ ℝ : x² = 1} ∩ ℕ = {1}
	průnik množiny ... s ...
	teorie množin
∖	rozdíl množin	A ∖ B značí množinu, která obsahuje ty prvky A, které neobsahuje B . − někdy též označuje rozdíl množin.	{1,2,3,4} ∖ {3,4,5,6} = {1,2}
	minus; rozdíl množin ... a ...
	teorie množin
( )	zápis funkce	f(x) značí funkci s jednou proměnnou - x. Takto se značí i zobrazení.	Jestliže f(x) := x², pak f(3) = 3² = 9.
	funkce
	všude v matematice
	určení pořadí operací	Přednostně se dělá vnitřní operace.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, ale 8/(4/2) = 8/2 = 4.
	závorka; začátek závorky - konec závorky
	všude v matematice
: →	funkce	f: X → Y značí funkci (či obecně zobrazení) f z množiny X do množiny Y.	Mějme f: ℤ → ℕ definováno jako f(x) := x².
	funkce z ... do ...
	všude v matematice
o	skládání funkcí	fog je funkce taková, že (fog)(x) = f(g(x)).	Jestliže f(x) := 2x, a g(x) := x + 3, tak (fog)(x) = 2(x + 3).
	složeno s
	matematická analýza, teorie množin
ℕ N	množina přirozených čísel	ℕ značí množinu { 1, 2, 3, ...} (existují i jiné definice).	ℕ = {\|a\| : a ∈ ℤ, a ≠ 0}
	N
	teorie čísel, matematická analýza
ℤ Z	množina celých čísel	ℤ značí množinu {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. ℤ₊ = ℕ. ℤ_- = {..., −3, −2, −1}.	ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0}
	Z
	teorie čísel, matematická analýza
ℚ Q	množina racionálních čísel	ℚ značí množinu{p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℕ}.	3.14000... ∈ ℚ π ∉ ℚ
	Q
	teorie čísel, matematická analýza
ℝ R	reálné čísla	ℝ značí množinu všech reálných čísel.	π ∈ ℝ √(−1) ∉ ℝ
	R
	teorie čísel, matematická analýza
ℂ C	komplexní čísla	ℂ means {a + b i : a,b ∈ ℝ}.	i = √(−1) ∈ ℂ
	C
	teorie čísel, matematická analýza
∞	nekonečno	∞ je prvek rozšířené reálné osy, který je větší než libovolné reálné číslo. (Existují i jiné definice nekonečna pro jiné matematické prostory).	$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\|x\|} = \infty$
	nekonečno
	matematická analýza
\|\|…\|\|	norma	\|\| x \|\| značí normu prvku vektorového prostoru x.	\|\| x + y \|\| ≤ \|\| x \|\| + \|\| y \|\| (pro normy indukované skalárním součinem)
	norma vektoru; velikost vektoru
	lineární algebra, matematická analýza
∑	součet řady	$\sum_{k=1}^{n}{a_k}$ značí a₁ + a₂ + … + a_n.	$\sum_{k=1}^{4}{k^2}$ = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
	součet přes ... od ... do ...
	všude v matematice
∏	součin řady	$\prod_{k=1}^na_k$ značí a₁a₂···a_n.	$\prod_{k=1}^4(k+2)$ = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360
	součin přes ... od ... do ..
	všude v matematice
′ ^•	derivace	f ′(x) je derivace funkce f podle proměnné x Tečka většinou značí derivaci podle času, tedy například $\dot{x}(t)=\frac{\partial}{\partial t}x(t)$ .	Jestliže f(x) := x², pak f ′(x) = 2x
	derivace
	matematická analýza
∫	integrál	∫ f(x) dx značí funkci, jejíž derivace je f.	∫x² dx = x³/3 + C
	integrál funkce ...
	matematická analýza
∇	gradient	$\nabla f(x_1, \dots, x_n)$ je vektor parciálních derivací $\left({\partial f \over \partial x_1}, \dots, {\partial f \over \partial x_n}\right)$ .	Jestliže $f \left( x, y, z \right) = {3xy + z^2}$ , pak $\nabla f = \left( 3y, 3x, 2z \right)$
	nabla, gradient funkce
	matematická analýza, tenzorový počet
	divergence	$\nabla \cdot \vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z}$	Jestliže $\vec v := 3xy\mathbf{i}+y^2 z\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ , pak $\nabla \cdot \vec v = 3y + 2yz$ .
	divergence funkce
	matematická analýza, tenzorový počet
	rotace	$\nabla \times \vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i}$ $+ \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}$	Jestliže $\vec v := 3xy\mathbf{i}+y^2 z\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ , pak $\nabla\times\vec v = -y^2\mathbf{i} - 3x\mathbf{k}$ .
	rotace funkce
	matematická analýza, tenzorový počet
∂	parciální derivace	Pro f (x₁, …, x_n) je ∂f/∂x_i derivací f podle x_i ; ostatní proměnné jsou brány za konstanty.	Jestliže f(x,y) := x²y, pak ∂f/∂x = 2xy
	parciální derivace ... podle ...
	matematická analýza, ale i jinde
	hranice množiny	∂M značí hranici množiny M	∂{x : \|\|x\|\| ≤ 2} = {x : \|\|x\|\| = 2}
	hranice
	topologie, teorie množin, matematická analýza
δ	Diracovo delta	$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$ ; jedná se o distribuci, tedy zobecněnou funkci	δ(x)
	Diracovo delta v x
	matematická analýza
	Kroneckerovo delta	$\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases}$	δ_ij
	Kroneckerovo delta
	lineární algebra, matematická analýza, ale i jinde
⊥	ortogonalita	x ⊥ y znamená, že x je kolmé na y; nebo mnohem obecněji x je ortogonání na y.	Jestliže l ⊥ m a m ⊥ n tak l \|\| n.
	je kolmý, je ortogonální
	geometrie, lineární algebra, matematická analýza
\|\|	rovnoběžnost	x \|\| y značí, že x je rovnoběžné y.	Jestliže l \|\| m a m ⊥ n tak l ⊥ n.
	je rovnoběžné s
	geometrie
⊗	tenzorový součin	$V \otimes U$ značí tenzorový součin V a U.	{1, 2, 3, 4} ⊗ {1, 1, 2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}
	tenzorový součin ... a ...
	lineární algebra, tenzorový počet
*	konvoluce	f * g značí konvoluci funkcí f a g.	$(f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$
	konvoluce ... a ...
	funkcionální analýza
$\bar{x}$	průměr	$\bar{x}$ značí arimetický průměr z hodnot $x_i$ ).	$x = \{1,2,3,4,5\}; \bar{x} = 3$ .
	průměr
	statistika
	perioda	Označuje nějakou číslici nebo n-tici číslic, které se v zápise čísla stále opakují	$2.\bar{3}=2.33333\dots$
	... periodických
	aritmetika
	uzávěr množiny	Jedná se o množinu všech bodů, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s danou množinou. $\overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}$ (Používá se i pro zúplnění metrického prostoru.)
	uzávěr množiny
	topologie a teorie množin, ale i jinde
$z^\ast$	konjugace	$\overline{z} = z^\ast$ je komplexně sdružené číslo k z.	$\overline{3+4i} = (3+4i)^\ast = 3-4i$
	konjungováno
	komplexní analýza