Matematické symboly a značky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(Přesměrováno z Matematický symbol)
Skočit na: Navigace, Hledání

Matematický symbol je libovolný znak, používaný v matematice. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty, znak pro množinu, prostor, proměnnou a mnoho dalších matematických objektů.

Termín matematický symbol vznikl překladem z angličtiny a přestože je často používaný, dle jazykových doporučení ÚNMZ [P 1] a české technické normy ČSN ISO 80000-2 je správné označení matematická značka.[P 2]

Základní matematické značky[editovat | editovat zdroj]

V matematice existují zažité konvence, které značky se užívají pro konkrétní účel. Zde je přehled některých z nich včetně jejich typického užití:

Značka
Unicode
\TeX
Název Vysvětlení Příklady
Čte se
Oblast použití
=
003D
=
rovnost x = y znamená, že x a y reprezentují stejnou hodnotu či objekt. Jestliže x = y  a y = 1, pak x = 1
rovná se
všude v matematice
2260
\neq
nerovnost x ≠ y znamená, že x a y nereprezentují stejnou hodnotu či objekt. 1 ≠ 2
nerovná se
všude v matematice
<
003C
>
003E
226A
226B
ostrá nerovnost x < y znamená, že x je menší než y.

x > y znamená, že x je větší než y.

x ≪ y znamená, že x je mnohem menší než y.

x ≫ y znamená, že x je mnohem větší než y.
3 < 4
5 > 4

0,003 ≪ 1 000 000

je menší;
je větší;
je mnohem menší;
je mnohem větší
všude v matematice
2264
2265
neostrá nerovnost x ≤ y znamená, že x je menší nebo rovno y.

x ≥ y znamená, že x je větší nebo rovno y.
3 ≤ 4; 5 ≤ 5
5 ≥ 4; 5 ≥ 5;
pro všechna reálná α platí -1 ≤ sin α ≤ 1
menší nebo roven;
větší nebo roven
všude v matematice
~
223C
221D
úměrnost y ~ x, resp. yx znamená, že existuje taková konstanta k,že

y = kx.

jestliže y = 2x, tak y ~ x
je úměrná
všude v matematice
+
002B
sčítání 4 + 6 značí součet 4 a 6. 2 + 7 = 9
plus
aritmetika, ale i jinde
2212
odčítání 9 − 4 značí rozdíl 9 a 4. 8 − 3 = 5
mínus, bez
aritmetika, ale i jinde
opačné číslo −3 značí číslo opačné k číslu 3. −(−5) = 5
negative; mínus
aritmetika, ale i jinde
doplněk množiny A − B značí množinu, která obsahuje všechny prvky množiny A, které nejsou prvky množiny B. {a,b,c} − {a,c,d}  = {b}
bez; mínus
teorie množin
×
00D7
násobení 3 × 4 značí součin 3 a 4. 7 × 8 = 56
krát
aritmetika
kartézský součin X×Y značí množinu uspořádaných dvojic (x, y) takových, že x je prvkem X a y je prvkem Y. {1;2} × {3;4} = {(1;3);(1;4);(2;3);(2;4)}
kartézský součin ... a ...
teorie množin
vektorový součin u × v značí vektorový součin vektorů u a v (1; 2; 5) × (3; 4; −1) =
(−22; 16; − 2)
cross
lineární algebra
·
22C5
násobení 3 · 4 značí součin 3 a 4. 7 · 8 = 56
krát
aritmetika
skalární součin u · v značí skalární součin vektorů u a v (1; 2; 5) · (3; 4; −1) = 6
krát
lineární algebra
÷
00F7
002F

:
003A

dělení 6 ÷ 3, 6 ⁄ 3 nebo 6 : 3 znamená podíl 6 ku 3.
Užívá se též zlomková čára.

Znak ÷ se nedoporučuje užívat.

2 ÷ 4 = 0,5; nedoporučuje se užívat

12 ⁄ 4 = 3

20 : 5 = 4
\frac{16}{8}=2
děleno; ku
aritmetika
±
00B1
plus-minus Výraz s ± představuje dvě hodnoty.

6 ± 3 značí jak 6 + 3, tak 6 − 3.

Rovnice x = 5 ± √4 má dvě řešení:
x = 7 a x = 3.
plus-minus
aritmetika, algebra
dříve: nejistota hodnoty dříve 10 ± 2 značilo číslo z intervalu od 10 − 2 do 10 + 2;
nyní totéž píšeme 10(2).
Je-li v ≥ 99,998 m/s a v ≤ 100,008 m/s, pak
dříve se psalo v = 100,003 m/s ± 0,005 m/s,
nyní píšeme v = 100,003(5) m/s.
plus-minus
aproximace; numerické metody
221A
odmocnina \sqrt[n]{x} značí všechna čísla y, pro která y^n je x. \sqrt{4} = 2 \mathrm{~nebo~}  -2
n-tá odmocnina
algebra
|…|
007C...007C
absolutní hodnota | x | značí vzdálenost (na reálné ose, v komplexní rovině) mezi x a počátkem souřadnic. | 3 | = 3

| –5 | = | 5 |

| i | = 1

| 3 + 4 i | = 5
absolutní hodnota
teorie čísel; matematická analýzalineární algebra
norma vektoru |x| značí normu x. Pro x = (1; 1) je |x| = \sqrt{2}
norma
geometrie; lineární algebra; matematická analýza
determinant |A| značí determinant matice A \begin{vmatrix}
 1&2 \\
 2&4 \\
\end{vmatrix} = 0
determinant matice
lineární algebra
mohutnost |X| značí počet prvků množiny X |{3; 5; 7; 9}| = 4

|{x, y, z}| = 3

kardinalita množiny;
mohutnost množiny
teorie množin
|
2223
dělitelnost a|b znamená, že a dělí b, tedy:

existuje celé číslo c takové, že c = b/a.

Protože 15 = 3×5, tak platí 3|15 a 5|15.
dělí
teorie čísel
podmíněná pravděpodobnost P(A|B) značí pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastane jev B.
Značíme-li P(X) pravděpodobnost jevu X a P(XY) pravděpodobnost současného výskytu jevů X i Y, pak


P(A,B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(A|B).

Jsou-li A, B nezávislé, je P(A|B) = P(A).
Jestliže z B plyne A, pak P(A|B) = 1.
za podmínky
pravděpodobnost
!
0021
faktoriál n! značí součin 1 × 2 × ... × n.

Definitoricky platí 0! = 1.

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
faktoriál
kombinatorika
T
hor.ind. 0054
transpozice matice Záměna sloupců matice za řádky a naopak. A_{ij} = (A^T)_{ji}
transponováno
lineární algebra
~
223C
řádková ekvivalence A~B znamená, že B může být vytvořena z A konečným počtem elementárních řádkových operací. \begin{bmatrix}
 1&2 \\
 2&4 \\
\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}
 1&2 \\
 0&0 \\
\end{bmatrix}
je řádkově ekvivalentní s
lineární algebra
\simeq
2243
asymptotická rovnost f\simeq g značí, že \lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1. x+1\simeq x
je asymptoticky ekvivalentní
algebra; matematická analýza
2248
aproximace x ≈ y značí, že x je přibližně rovno y. \pi\approx 3,14
dříve se psalo: \pi\doteq 3,14
je přibližně rovno;
je aproximováno
všude v matematice
izomorfismus G ≈ H značí, že grupa G je izomorfní s grupou H.  ≈ 
je izomorfická
algebra; teorie grup
21D2
implikace AB znamená:

Platí-li výrok A, tak platí i výrok B.
(Jestliže A neplatí, pak se o pravdivosti B nic netvrdí.)

x = 2  ⇒ x2 = 4 je pravdivé, ale
x2 = 4  ⇒ x = 2 není pravdivé (neboť x může být −2).
implikuje; vyplývá; jestliže
matematická logika, ale i jinde
21D4
ekvivalence A ⇔ B značí: A je pravdivé, jestliže B je pravdivé, a zároveň A je nepravdivé, jestliže B je nepravdivé.

Neboli: A je pravdivé právě tehdy, když B je pravdivé.

x + 5 = y +2  ⇔ x + 3 = y
právě tehdy, když
matematická logika, ale i jinde
¬
00AC
negace Výraz ¬A je pravdivý právě tehdy, když A je nepravdivé. ¬(¬A) ⇔ A
x ≠ y  ⇔ ¬(x = y)
ne; negace
matematická logika, ale i jinde
2227
konjunkce Výraz AB je pravdivý právě tehdy, když oba A a B jsou pravdivé. Pro přirozená n platí n < 4  ∧ n >2  ⇔ n = 3
a
matematická logika, ale i jinde
2228
disjunkce Výraz AB je pravdivý právě tehdy, když alespoň jeden z výrazů A, B je pravdivý.
(Disjunkce je nepravdivá jen tehdy, když oba A, B jsou nepravdivé.)
Pro přirozená n platí n ≥ 4  ∨ n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3
nebo
matematická logika, ale i jinde
2200
univerzální kvantifikátor ∀ x: P(x) znamená, že P(x) platí pro všechna x. ∀ n ∈ : n2 ≥ n.
pro všechna;
pro každé
predikátová logika, ale i jinde
2203
existenční kvantifikátor ∃ x: P(x) znamená, že existuje alespoň jedno x, pro které P(x) je pravdivé. ∃ n ∈ : n je liché.
existuje;
pro nějaké
predikátová logika, ale i jinde
∃¹
2203,00B9
∃!
2203,0021
kvantifikátor jednoznačné existence ∃! x: P(x) znamená, že existuje právě jedno x, pro které P(x) je pravdivé. ∃! n ∈ : n + 5 = 2n.
existuje právě jedno;
pro právě jedno
predikátová logika, ale i jinde
2245
kongruence; shodnost △ABC △DEF značí, že trojúhelník ABC je shodný (má stejnou velikost odpovídajících stran) s trojúhelníkem DEF.
je shodný s
geometrie
2261
kongruence ab (mod n) značí, že a a b mají stejný zbytek po dělení n, tedy že a − b je dělitelné n.

Existují i jiné třídy kongruence než zbytkové.
5 ≡ 11 (mod 3)
... je kongruentní s ... (modulo ...)
modulární aritmetika, ale i jinde
{ , }
007B, 007D
množinové závorky {a, b, c} označuje množinu o prvcích a, b a c.

Pro čísla užíváme středník, hrozí-li záměna s desetinnou čárkou.

 = { 1; 2; 3; …}
množina ...
teorie množin
2205
{ }
007B 007D
prázdná množina značí množinu bez prvků.
{ } značí totéž.
{n ∈  : 1 < n2 < 4} =
prázdná množina
teorie množin
2208
2209
prvek množiny a ∈ S značí, že a je prvkem množiny S
a  S značí, že a není prvkem S
(1/2)−1 ∈ 

2−1  
je prvkem;
není prvkem
teorie množin
2286
podmnožina A ⊆ B značí, že každý prvek A je též prvkem B. (A ∩ B) ⊆ A
je podmnožinou
teorie množin
2282
vlastní podmnožina A ⊂ B značí, že každý prvek A je též prvkem B a zároveň existuje alespoň jeden prvek B, který není prvkem A.

(Někteří autoři užívají tento znak i pro podmnožinu; místo ⊆.)
 ⊂ 

 ⊂ 
je podmnožinou
teorie množin
2287
nadmnožina A ⊇ B značí, že každý prvek B je též prvkem A. (A ∪ B) ⊇ B
je nadmnožinou
teorie množin
2283
vlastní nadmnožina A ⊃ B značí, že každý prvek B je též prvkem A a zároveň existuje alespoň jeden prvek A, který není prvkem B.  ⊃ 
je nadmnožinou
teorie množin
222A
sjednocení A ∪ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou alespoň v jedné z množin A a B. A ⊆ B  ⇔ (A ∪ B) = B
sjednocení množin ... a ...
teorie množin
2229
průnik A ∩ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou množinám A a B společné. {x ∈  : x2 = 1} ∩  = {1}
průnik množiny
... s ...
teorie množin
2216
rozdíl množin A  B značí množinu, která obsahuje ty prvky A, které neobsahuje B.

− někdy též označuje rozdíl množin.
{1; 2; 3; 4}  {3; 4; 5; 6} = {1; 2}
minus;
rozdíl množin ... a ...
teorie množin
(  )
0028, 0029
{  }
007B, 007D
[  ]
005B, 005D
\langle  \rangle
27E8, 27E9
určení pořadí operací Přednostně se dělá vnitřní operace. (8/4)/2 = 2/2 = 1, ale 8/(4/2) = 8/2 = 4.
V principu stačí jen kulaté závorky.
Ostatní typy mívají speciální použití.
kulaté závorky
složené závorky
hranaté závorky
lomené závorky
všude v matematice
( )
0028, 0029
zápis funkce f(x) značí funkci s jednou proměnnou, a to x.

Takto se značí i zobrazení.
Jestliže f(x) := x2, pak f(3) = 32 = 9.
funkce
všude v matematice
: →
003A 2192
funkce fX → Y značí funkci (či obecně zobrazení) f z množiny X do množiny Y. Mějme f →  definováno jako


f(x) := x2.

funkce z ... do ...
všude v matematice
o
2218
skládání funkcí f ° g je funkce taková, že (f ° g)(x) = f(g(x)). Když f(x) := 2x a když g(x) := x + 3, tak

(f ° g)(x) = 2(x + 3).

složeno s
matematická analýza, teorie množin
2115
N
004E tučné
množina přirozených čísel značí množinu { 1, 2, 3, ...} (existují i jiné definice).  = {|a| : a ∈ , a ≠ 0}
N
teorie čísel, matematická analýza
2124
Z
005A tučné
množina celých čísel značí množinu {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. + = . - = {..., −3, −2, −1}.  = {p, -p : p ∈ } ∪ {0}
Z
teorie čísel, matematická analýza
211A
Q
0051 tučné
množina racionálních čísel značí množinu{p/q : p ∈ , q ∈ }. 3,140 00... ∈

π 
Q
teorie čísel, matematická analýza
211D
R
0052 tučné
reálné čísla značí množinu všech reálných čísel. π ∈

3 + 2 i 
R
teorie čísel, matematická analýza
i
00
imaginární jednotka Imaginární jednotka i je kořenem rovnice x2 = -1

V elektrotechnice se značí j. Jak i, tak j se tisknou stojatě, nikoli kurzívou.

i2 = -1; -i2 = -1;

\left (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i} \right )^2 = \mathrm{i}

R
teorie čísel, matematická analýza
2102
C
0043 tučné
komplexní čísla je množina všech {a + b i : a, b ∈ }. i2 = −1 ∈
C
teorie čísel, matematická analýza
\infty
221E
nekonečno ∞ je prvek rozšířené reálné osy, který je větší než libovolné reálné číslo.

(Existují i jiné definice nekonečna pro jiné matematické prostory).
\lim_{x\to 0} \frac{1}{|x|} = \infty
nekonečno
matematická analýza
||…||
2016... 2016
norma || x || značí normu prvku vektorového prostoru x. || x + y || ≤ || x || + || y ||

(pro normy indukované skalárním součinem)
norma vektoru;
velikost vektoru
lineární algebra, matematická analýza
2211
součet řady

\sum_{k=1}^{n}{a_k} značí a1 + a2 + … + an.

\sum_{k=1}^{4}{k^2} = 12 + 22 + 32 + 42 

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30
součet přes ... od ... do ...
všude v matematice
220F
součin řady

\prod_{k=1}^na_k značí a1a2···an.

\prod_{k=1}^4(k+2) = (1+2)(2+2)(3+2)(4+2)

= 3 × 4 × 5 × 6 = 360
součin přes ... od ... do ..
všude v matematice
2032
derivace f ′(x) je derivace funkce f podle proměnné x

Tečka většinou značí úplnou derivaci podle času, tedy např. \dot{f}=\dot{f}(x(t),t)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial t}.

Jestliže f(x) := x2, pak f ′(x) = 2x
derivace
matematická analýza
222B
integrál ∫ f(x) dx značí funkci, jejíž derivace je f. x2 dx = x3/3 + C
integrál funkce ...
matematická analýza
2207
gradient  \nabla f(x_1, \dots, x_n) je vektor parciálních derivací \left({\partial f \over \partial x_1}, \dots, {\partial f \over \partial x_n}\right). Jestliže f \left( x, y, z \right) = {3xy + z^2}, pak \nabla f = \left( 3y, 3x, 2z \right)
nabla, gradient funkce
matematická analýza, tenzorový počet
divergence  \nabla \cdot \vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} Jestliže  \vec v := 3xy\mathbf{i}+y^2 z\mathbf{j}+5\mathbf{k} , pak  \nabla \cdot \vec v = 3y + 2yz .
divergence funkce
matematická analýza, tenzorový počet
rotace  \nabla \times \vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i}
 + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}
Jestliže  \vec v := 3xy\mathbf{i}+y^2 z\mathbf{j}+5\mathbf{k} , pak  \nabla\times\vec v = -y^2\mathbf{i} - 3x\mathbf{k} .
rotace funkce
matematická analýza, tenzorový počet
2202
parciální derivace Pro f (x1, …, xn) je ∂f/∂xi derivací f podle xi; ostatní proměnné jsou brány za konstanty. Jestliže f(x,y) := x2y, pak ∂f/∂x = 2xy
parciální derivace ... podle ...
matematická analýza, ale i jinde
hranice množiny M značí hranici množiny M ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}
hranice
topologie, teorie množin, matematická analýza
δ
03B4
Diracova funkce delta \delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases};
Distribuce, tedy zobecněná funkce:

\int f(x) \delta(y-x) \mathrm{d}x = f(y)

∫cos x δ(x-a) dx = cos a
Diracova funkce delta v x
matematická analýza
Kroneckerovo delta \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases} δij
Kroneckerovo delta
lineární algebra, matematická analýza, ale i jinde
27C2
ortogonalita x ⊥ y znamená, že x je kolmé na y; nebo mnohem obecněji x je ortogonání na y. Jestliže k ⊥ m a m ⊥ n, tak k || n.
je kolmý,
je ortogonální
geometrie, lineární algebra, matematická analýza
||
2225
rovnoběžnost x || y značí, že x je rovnoběžné y. Jestliže k || m a m ⊥ n, tak k ⊥ n.
je rovnoběžné s
geometrie
2297
tenzorový součin V \otimes U značí tenzorový součin V a U. {1, 2, 3, 4}  {1, 1, 2} =
{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}
tenzorový součin ... a ...
lineární algebra, tenzorový počet
*
2217
konvoluce f * g značí konvoluci funkcí f a g. (f * g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau
konvoluce ... a ...
funkcionální analýza
\bar{x}
průměr \bar{x} značí aritmetický průměr z hodnot x_i). x = \{1,2,3,4,5\}; \bar{x} = 3.
průměr
statistika
perioda Označuje nějakou číslici nebo n-tici číslic, které se v zápise čísla stále opakují 2,\bar{3}=2,33333\dots
... periodických
aritmetika
uzávěr množiny Množina všech bodů, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s danou množinou.
\overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}

(Používá se i pro zúplnění metrického prostoru.)

uzávěr množiny
topologie a teorie množin, ale i jinde
z^\ast
002A hor. ind.
konjugace  \overline{z} = z^\ast je komplexně sdružené číslo k z.  \overline{3+4\mathrm{i}} = (3+4\mathrm{i})^\ast = 3-4\mathrm{i}
konjungováno
komplexní analýza
\left \langle , \right \rangle
27E8, 27E9
\left \lbrack , \right \rbrack
005B, 005D
uzavřený interval[1]  \langle a, b \rangle = \{ x \,|\, a \le x \le b \} \, je interval čísel počínaje a včetně až po b včetně \left \langle -2, 3 \right \rangle
\left \lbrack -2, 3 \right \rbrack
algebra, matematická analýza, analytická geometrie
\left ( , \right )
0028, 0029
\left \rbrack , \right \lbrack
005D, 005B
otevřený interval[2]        ( a, b )       = \{ x \,|\, a  <  x  <  b \} \, je interval čísel počínaje od a (kromě a) až po b (kromě b) \left ( -2, 3 \right )
\left \rbrack 1, \infty \right \lbrack
algebra, matematická analýza, analytická geometrie
\left ( , \right \rangle
0028, 27E9
\left ( , \right \rbrack
0028, 005D
\left \rbrack , \right \rbrack
005D, 005D
zleva polootevřený interval[3]  ( a, b \rangle = \{ x \,|\, a < x \le b \} \, je zleva otevřený, zprava uzavřený interval čísel počínaje od a (kromě a) až po b včetně \left ( -2, 3\right \rangle
\left ( -\infty, 1 \right \rbrack
\left \rbrack -\infty, 1 \right \rbrack
algebra, matematická analýza, analytická geometrie
\left \langle , \right )
27E8, 0029
\left \lbrack , \right )
005B, 0029
\left \lbrack , \right \lbrack
005B, 005B
zprava polootevřený interval[4]  \langle a, b) = \{ x \,|\, a \le x < b \} \, je zleva uzavřený, zprava otevřený interval čísel počínaje od a (včetně a) až po b (kromě b) \left \langle -2, 3\right )
\left \lbrack 1, \infty \right )
\left \lbrack 1, \infty \right \lbrack
algebra, matematická analýza, analytická geometrie

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

ČSN ISO 80000-2:2012

ISO 80000-2:2009

The Unicode Standard, Version 6.3

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. http://www.unmz.cz/urad/jazykove-prilohy-k-mpn-1
  2. ČSN ISO 80000-2, Veličiny a jednotky –- Část 2: Matematické znaky a značky užívané v přírodních vědách a technice; březen 2012

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.7, tzv. anglický resp. francouzský zápis
  2. druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.10, tzv. francouzský zápis
  3. druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.8, tzv. anglický resp. francouzský zápis
  4. druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.9, tzv. anglický resp. francouzský zápis

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Table of mathematical symbols na anglické Wikipedii.