Logaritmicko-normální rozdělení

Hustoty logaritmicko-normálního rozdělení se stejným parametrem μ a různými parametry σ

Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení) s parametry $\mu$ a $\sigma$, označované $LN(\mu, \sigma)$, je spojité rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné reálné náhodné veličiny $X$ takové, že náhodná veličina $\ln(X)$ má normální rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a směrodatnou odchylkou $\sigma$.

Hustota pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti logaritmicko-normálního rozdělení má tvar:

$f_X(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}},\ \ x>0$

Charakteristiky

Střední hodnota logaritmicko-normálního rozdělení je

$E(x) = e^{\mu+\sigma^2/2}$

Rozdělení má rozptyl

$D(x) = (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}$

Medián je roven

$x_{0,5} = e^{\mu}$

Koeficient šikmosti je

$\gamma_1 = (e^{\sigma^2}\!\!+2) \sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$

Tříparametrické logaritmicko-normální rozdělení

Tříparametrické logaritmicko-normální rozdělení obsahuje navíc parametr posunu $\lambda$; platí, že náhodná veličina $\ln(X-\lambda)$ má normální rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a směrodatnou odchylkou $\sigma$.