Lineární harmonický oscilátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Lineární harmonický oscilátor

Modelem kvantového lineárního harmonického oscilátoru je každý oscilující objekt kolem své rovnovážné polohy např. kmity atomů v krystalické mřížce. Lineární harmonický oscilátor patří mezi výjimky kvantové mechaniky, které lze řešit analyticky Schrödingerovou rovnicí. Řadu fyzikálních jevů lze také přinejmenším přibližně převést na harmonický oscilátor a popsat je tak s dostatečnou přesností.

Kvantový popis lineárního oscilátoru[editovat | editovat zdroj]

Kvantový lineární harmonický oscilátor je modelový systém, zahrnující částici vázanou na přímku nacházející se v poli sil popsaných potenciální energii V(x), která závisí na poloze částice kvadraticky. Kvůli vázanosti na přímku se tento systém často označuje jako jednorozměrný harmonický oscilátor. Pro tento systém se studují stacionární stavy a pohyb částice.

Pokud potenciál V(x) zapíšeme jako

V(x)=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,,

pak Hamiltonův operátor pro jednorozměrný lineární harmonický oscilátor můžeme zapsat jako

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\,.

Stacionární Schrödingerova rovnice pro lineární harmonický oscilátor tvar

\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega^2}{2} x^2 \right) \Psi (x) = E \Psi (x)

Vynásobíme-li celou rovnici \frac{2}{\hbar \omega} , získáme

\left(-\frac{\hbar}{m\omega} \frac{\part^2}{\part x^2} + \frac{m\omega}{\hbar} x^2 \right) \Psi (x) = \frac{2E}{\hbar\omega} \Psi (x)

a zavedeme-li pro zjednodušení rovnice bezrozměrné veličiny

\lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\,,
\xi=\frac{2E}{\hbar\omega}\,,

rovnice přejde ve tvar

\left(\frac{\part^2}{\part \xi^2} - \xi^2 \right) \Psi (\xi) = -\lambda \Psi(\xi)\,.

Po úpravě dostaneme

\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} + (\lambda-\xi^2) \Psi(\xi) = 0 \,.

Odhad řešení v asymptotické oblasti[editovat | editovat zdroj]

Řešení vyjádřené rovnice nelze nalézt jednoduchým matematickým aparátem a vyžaduje komplikovanější úvahy. V souladu s požadavky kladenými na vlnovou funkci \Psi budeme požadovat, aby řešení rovnice byla konečná, jednoznačná a spojitá. Nejdříve odhadneme chování vlnové funkce \Psi v asymptotické oblasti (\xi\to\pm\infty). Pro hodnoty \xi\to\pm\infty lze \lambda v rovnici zanedbat a ta se pak zjednodušuje na tvar

\frac{\part^2 \Psi(\xi)}{\part \xi^2} - \xi^2 \Psi(\xi) = 0 \,.

Jejím řešením je na stejné úrovni přesnosti rovnice, kde A a B jsou libovolné konstanty.

\Psi(\xi) = A^\frac{-\xi^2}{2} + B^\frac{\xi^2}{2} \,.

Pro znaménko plus v exponenciále vlnová funkce \Psi diverguje pro (\xi\to\pm\infty) a nelze ji normovat. Proto v asymptotické oblasti přibližně platí

\Psi(\xi) \approx A^\frac{-\xi^2}{2} \,.

Zpřesnění řešení v oblasti konečných hodnot[editovat | editovat zdroj]

Mimo asymptotickou oblast získané přibližné řešení původní rovnice pochopitelně nevyhovuje. Přejít k řešení přesnému, a to pro všechny hodnoty \xi, znamená předpokládat, že A na \xi závisí. To znamená, že přesné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice je ve tvaru

\Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} \,,

kde A(\Psi) je dosud neurčená funkce modulující exponenciálu \exp(\frac{-\xi^2}{2}) dosazením předešlé rovnice pro \Psi získáme novou rovnici pro neznámou funkci A(\Psi)

\frac{\part^2 A}{\part \xi^2} - 2\xi\frac{\part A}{\part \xi} + (\lambda-1)A = 0\,.

Funkci A(\Psi) budeme hledat ve tvaru mocninné řad

A(\Psi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k \,.

Neznámé koeficienty a_k pak získáme postupem, který zahrnuje dosazení řady pro A do odpovídající rovnice a porovnání členů se stejnými mocninami \xi^k. Po jistém úsilí získáme

a_k = \frac{(1-\lambda)(5-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_0 \,, pro k=2,4,6,...
a_k = \frac{(3-\lambda)(7-\lambda)...(2k-3-\lambda)}{k!}a_1 \,, pro k=3,5,7,...

Protože A je řešení obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu, závisí podle očekávání na dvou konstantách a_0 a a_1. Ukazuje se však, že nekonečná řada A(\Psi) se pro velká \lambda chová jako funkce \exp(\frac{-\xi^2}{2}) , což znamená, že vlnová funkce \Psi(\xi) = A(\Psi)^-\frac{\xi^2}{2} pro (\xi\to\pm\infty) diverguje. Funkce A(\Psi) proto nemůže mít předpokládaný tvar nekonečné řady. Nezbývá než předpokládat, že má funkce A(\Psi) tvar polynomu, to znamená, že počínaje určitým k platí a_{k+2} = 0 a pro dosud libovolné \lambda musí splňovat podmínku

\lambda = 2n+1 \,, pro n=0,1,2,...

Energetické spektrum[editovat | editovat zdroj]

S ohledem na předešlý vztah a rovnici \lambda = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x dostáváme kvantování energií stacionárních stavů lineárního harmonického oscilátoru[1] [2]

E_n = \frac{\hbar\omega\lambda}{2} = \hbar\omega\frac{2n+1}{2} = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right) \,.

Srovnání klasického a kvantového oscilátoru[editovat | editovat zdroj]

  • Ze vztahu E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)je patrné, že energie kvantového oscilátoru je kvantována, a také že jednotlivé energetické hladiny jsou rozloženy s konstantním krokem.
  • Zároveň si musíme uvědomit, že uvedený vztah platí i pro makroskopický oscilátor, ale kvanta jsou u něj příliš malá, tudíž je můžeme zanedbat a klasický harmonický oscilátor tak nabývat praktický všech stavů (a nemá pro něj vztah smysl). Naopak u mikroskopických objektů se objevují děje s velmi malými kvantovými čísly, takže rozdíly mezi energetickými hladinami jsou v mikrosvětě větší a hodnoty stavů jsou diskrétní.
  • Další příklad rozporu nastává u nejmenší možné energie (tzv. energie základního stavu) kvantového oscilátoru, kde je hodnota nenulová, což se v případě lineárního harmonického oscilátoru v klasické mechanice stát nemůže.
  • Rozdíl nastává i u možnosti určení kinetické a potenciální energie. U klasického oscilátoru je můžeme určit současně. V kvantové teorii spolu operátory kinetické a potenciální energie nekomutují a nelze je tedy určit současně.
  • Naopak shodnost těchto dvou systémů můžeme pozorovat u hustoty pravděpodobnosti, která je soustředěna v kvantovém oscilátoru u bodů obratu. Tento jev je shodný s jevem u klasického oscilátoru a je patrný se vzrůstající energií. To si můžeme vysvětlit tím, že čím větší je kvantové číslo (energie) tím více se blížíme ke klasické fyzice.
  • Pozoruhodné je také sledovat, že vlnové funkce jsou nenulové i v klasické zakázané oblasti, kde E<V(x). Proto je také nenulová pravděpodobnost, že nalezneme částici mimo vnitřní oblast potenciální energie.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky. Praha : Academia, 2005. ISBN 802001316.  
  2. Lineární harmonický oscilátor - podrobné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice [online]. http://artemis.osu.cz, [cit. 2010-12-17]. Dostupné online.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]