Lieova algebra

Lieova algebra je matematická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.

Definice

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor V spolu s bilineárním zobrazením ("násobením"), označovaným závorkami,

$[\,]:V\times V\to V$,

s těmito speciálními vlastnostmi:

• $\forall x,y\in V\quad [x,y]=-[y,x]$ (antisymetrie)
• $\forall x,y,z\in V\quad [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$ (Jacobiho identita)

Příklady

• Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: $[x,y]=0$
• Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem: $[{\vec {x}},{\vec {y}}]:={\vec {x}}\times {\vec {y}}$

• matice $n\times n$ s nulovou stopou a komutátorem $[A,B]=AB-BA$
• antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
• antihermitovské matice spolu s komutátorem
• funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
• vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
• Tečný prostor ${\mathfrak {g}}$ Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou $[x,y]:=ad(x)y$, kde $ad(x)\in End({\mathfrak {g}})$ je derivace zobrazení $Ad_{exp(tx)}\in Gl({\mathfrak {g}})$ v $t=0$. Této Lieovy algebře ${\mathfrak {g}}$ se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je ${\mathfrak {g}}$ pouze tečný prostor G a $[x,y]$ obyčejný komutátor matic.

Související články

• Sophus Lie

Portály: Matematika