Legendreův symbol

Legedreův symbol je multiplikativní funkce funkce zavedená v teorii čísel. Při pevně daném prvočísle p nabývá pro různá celá čísla a hodnot 0, 1 a -1 podle toho, zda je a soudělné s p a zda je a modulo p čtvercem.

Legendreův symbol zavedl Adrien-Marie Legendre v roce 1798 při dokazování zákona kvadratické reciprocity. Existují jeho zobecnění, například Jacobiho symbol. Jeho značení přejaly také jiné funkce algebraické teorie čísel, například Hilbertův symbol a Artinův symbol.

Definice

Nechť p je prvočíslo. Celé číslo a se označuje kvadratický zbytek, pokud je modulo kongruentní druhé mocnině nějakého celého čísla, v opačném případě se nazývá kvadratický nezbytek. Legendreův symbol je funkce dvou proměnných p a a definovaná takto:

$\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. zbytek modulo}\ p \text{ a } a \not\equiv 0\pmod{p} \\ -1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. nezbytek modulo}\ p\\ \;\;\,0 \text{ pokud } a \equiv 0 \pmod{p}. \end{cases}$

Legendreova původní definice byla pomocí vzorců:

$\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\ \pmod{ p}\;\;\text{ a } \left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\}.$

Že jsou tyto definice ekvivalentní plyne z Eulerova kritéria, které bylo známo ještě před zavedením Legedreova symbolu. Legendreův přínos zde tkví právě v zavedení nové notace (předtím například pro vyjádření téhož používal Gauss zápisy aRp, aNp).

Vlastnosti

• Legendreův symbol je ve své první proměnné periodický; platí-li a ≡ b (mod p), pak:

$\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right).$

• Legendreův symbol je ve své první proměnné úplná multiplikativní funkce, tedy:

$\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).$

Literatura

• VINOGRADOV, Ivan Matvejevič. Základy theorie čísel. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.  

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Legendre symbol na anglické Wikipedii.