Legendreův symbol

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Legedreův symbol je multiplikativní funkce zavedená v teorii čísel. Při pevně daném prvočísle p nabývá pro různá celá čísla a hodnot 0, 1 a -1 podle toho, zda je a soudělné s p a zda je a modulo p čtvercem.

Legendreův symbol zavedl Adrien-Marie Legendre v roce 1798 při dokazování zákona kvadratické reciprocity. Existují jeho zobecnění, například Jacobiho symbol. Jeho značení přejaly také jiné funkce algebraické teorie čísel, například Hilbertův symbol a Artinův symbol.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť p je prvočíslo. Celé číslo a se označuje kvadratický zbytek, pokud je modulo kongruentní druhé mocnině nějakého celého čísla, v opačném případě se nazývá kvadratický nezbytek. Legendreův symbol je funkce dvou proměnných p a a definovaná takto:


\left(\frac{a}{p}\right) = 
\begin{cases}
\;\;\,1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. zbytek modulo}\ p
\text{ a } a \not\equiv 0\pmod{p} \\
-1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. nezbytek modulo}\ p\\
\;\;\,0 \text{ pokud } a \equiv 0 \pmod{p}.  
\end{cases}

Legendreova původní definice byla pomocí vzorců:

 \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\ \pmod{ p}\;\;\text{  a } \left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\}.

Že jsou tyto definice ekvivalentní plyne z Eulerova kritéria, které bylo známo ještě před zavedením Legendreova symbolu. Legendreův přínos zde tkví právě v zavedení nové notace (předtím například Gauss používal pro vyjádření téhož zápisy aRp, aNp).

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Legendreův symbol je ve své první proměnné periodický; platí-li ab (mod p), pak:

\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right).

\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Legendre symbol na anglické Wikipedii.

Literatura[editovat | editovat zdroj]