Laguerrovy polynomy

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) e^{-x} dx,

přičemž n-tý Laguerrův polynom L_n(x) je polynom stupně n[1]

Někdy se definují i obecnějším způsobem jako soustava polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) x^a e^{-x} dx,,

přičemž n-tý Laguerrův polynom L_n^{(a)}(x) je polynom stupně n a a>-1.

Explicitně se dají definovat vztahem[2]

L_n(x) = \sum_{k=0}^n {(-1)}^k \frac{n^2{(n-1)}^2\cdots{(k+1)}^2}{(n-k)!}x^k.

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy L_n(x) a {\scriptstyle L_n^{(a)}}, které se někdy uvádí jako definice, jsou

L_n(x) = \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^n \mathrm{e}^{-x})
L_n^{(a)}(x) = x^{-a} \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{n+a}\mathrm{e}^{-x})

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Laguerrovy polynomy L_n(x) jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice[2]

x y^{\prime\prime}+(1-x)y^\prime+ny=0

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích[editovat | editovat zdroj]

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} ({\scriptstyle -x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)} \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} ({\scriptstyle x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720}) \,

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. SZEGÖ, Gábor. Orthogonal polynomials. [s.l.] : AMS Bookstore, 1939. 432 s. ISBN 0-8218-1023-5. Kapitola 5, s. 100. (anglicky) 
  2. a b REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Praha : SNTL, 1981. S. 607.  

Související články[editovat | editovat zdroj]