Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 – 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

$(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) e^{-x} dx,$

přičemž n-tý Laguerrův polynom $L_n(x)$ je polynom stupně n

Někdy se definují i obecnějším způsobem jako soustava polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu

$(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) x^a e^{-x} dx,$,

přičemž n-tý Laguerrův polynom $L_n^{(a)}(x)$ je polynom stupně n a a>-1.

Explicitně se dají definovat vztahem

$L_n(x) = \sum_{k=0}^n {(-1)}^k \frac{n^2{(n-1)}^2\cdots{(k+1)}^2}{(n-k)!}x^k.$

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy $L_n(x)$ a ${\scriptstyle L_n^{(a)}}$, které se někdy uvádí jako definice, jsou

$L_n(x) = \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^n \mathrm{e}^{-x})$

$L_n^{(a)}(x) = x^{-a} \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{n+a}\mathrm{e}^{-x})$

Vlastnosti

Laguerrovy polynomy $L_n(x)$ jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice

$x y^{\prime\prime}+(1-x)y^\prime+ny=0$

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,$
3	${\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	${\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	${\scriptstyle\frac{1}{120}} ({\scriptstyle -x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)} \,$
6	${\scriptstyle\frac{1}{720}} ({\scriptstyle x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720}) \,$

Související články

• Ortogonální polynomy