Kvaternion

V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení.

Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (přestože mnohdy se jejich použití lze za jistou cenu vyhnout s pomocí vektorů).

Definice

Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z reálných čísel přidáním prvku i splňujícího i² = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků i, j a k tak, že jsou splněny následující vztahy.

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

{\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}

Každý kvaternion je lineární kombinací prvků 1, i, j a k, což znamená, že jej lze psát jako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

Příklad

Nechť

{\begin{matrix}x&=&3+i\\y&=&5i+j-2k\end{matrix}}

Pak (při násobení se využívají vztahy uvedené výše)

{\begin{matrix}x+y&=&3+6i+j-2k\\\\xy&=&(3+i)(5i+j-2k)=15i+3j-6k+5i^{2}+ij-2ik\\&=&15i+3j-6k-5+k+2j=-5+15i+5j-5k\\\end{matrix}}

Základní vlastnosti

Množina kvaternionů se v matematice obvykle značí písmenem $\mathbb {H}$ (podle objevitele Hamiltona), ℍ v Unicode .

Kvaterniony jsou asociativní algebra s dělením nad tělesem reálných čísel. Je na nich definováno (pravé a levé) dělení a jako množina spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří těleso. Je nekomutativní, jeho centrum je $\mathbb {R}$ .

Pro kvaternion $h=a+bi+cj+dk$ definujeme sdružený kvaternion jako ${\bar {h}}\equiv a-bi-cj-dk$ . Platí, že součin $h{\bar {h}}={\bar {h}}h=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ je nezáporné reálné číslo a je rovno nule pouze pro nulový kvaternion $h=0$ .

Pomocí sdruženého kvaternionu získáme inverzní prvek, ke kvaternionu $h$ je inverzní kvaternion $h^{-1}={\bar {h}}/(h{\bar {h}})$ (dělení reálným číslem $h{\bar {h}}$ je definováno po složkách).

Norma kvaternionu h se definuje jako $|h|\equiv {\sqrt {h{\bar {h}}}}$ . Norma je homomorfismus násobení, pro kvaterniony h,q platí $|hq|=|h||q|$ . Z toho plyne, že množina kvaternionů normy 1 tvoří grupu (jádro homomorfismu). Tato množina je trojrozměrná sféra $S^{3}$ a jako Lieova grupa je izomorfní $SU(2)$ (Jediné sféry, které jsou i Lieovy grupy, jsou $S^{0},S^{1}aS^{3}$ ).

Grupa automorfizmů kvaternionů je izomorfní $SO(3)$ . Prvku $A\in SO(3)$ přiřadíme automorfizmus $a+\mathbf {v} \mapsto a+A\mathbf {v}$ , kde $a\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}$ a $a+\mathbf {v} :=a+iv^{1}+jv^{2}+kv^{3}$ pro $\mathbf {v} =(v^{1},v^{2},v^{3})$ . Podobně grupa všech automorfizmů i antiautomorfizmů je izomorfní grupě $O(3)$ .

Algebra kvaternionů je izomorfní Cliffordově algebře $Cliff_{0,2}$ .

Příklady využití

Rotace v $\mathbb {R} ^{3}$

Každý kvaternion můžeme zapsat ve tvaru $a+\mathbf {v}$ , kde $a\in \mathbb {R}$ a $\mathbf {v} =v^{1}i+v^{2}j+v^{3}k$ , kde $\mathbf {v}$ chápeme jako vektor v $\mathbb {R} ^{3}$ . Pro libovolný ryze imaginární kvaternion $\mathbf {v}$ a libovolný kvaternion $h\neq 0$ platí, že $h\mathbf {v} h^{-1}$ je opět ryze imaginární (t.j. vektor) a zobrazení $\mathbf {v} \mapsto h\mathbf {v} h^{-1}$ je rotace v $\mathbb {R} ^{3}$ . Můžeme se omezit na jednotkové kvaterniony $|h|=1$ . Pak platí:

rotace kolem osy

\mathbf {o}

o úhel

\varphi

je reprezentována kvaternionem

h=\cos(\varphi /2)+\sin(\varphi /2)\mathbf {o}

, kde

\mathbf {o}

je jednotkový vektor ve směru osy o (otáčí v kladném směru, když se díváme se směru o).

Ke každé rotaci přísluší 2 jednotkové kvaterniony $h$ a $-h$ . To kromě jiného dokazuje, že třírozměrná sféra $S^{3}$ je 2:1 nakrytí $SO(3)$ .

Zároveň je to nejjednodušší způsob, jak rotace kolem nějaké osy v $\mathbb {R} ^{3}$ spočíst (třebaže z neznámých důvodu není moc známý). Podstatnou výhodou je, že skládání rotací odpovídá násobení příslušných kvaternionů. V případě mnohem známější reprezentace rotací pomocí Eulerových úhlů je skládání rotací mnohem složitější. Za další v případě řešení dynamických úloh rotujícího tělesa mají obvykle příslušné diferenciální rovnice v případě reprezentace pomocí kvaternionů často tvar lineárních rovnic a jejich řešení je tak relativně snadné.

Rotace v $\mathbb {R} ^{4}$

Kvaterniony můžeme přirozeně ztotožnit s prvky prostoru $\mathbb {R} ^{4}$ . Pro libovolnou dvojici jednotkových kvaternionů $h,q$ je zobrazení $v\in \mathbb {H} \mapsto hvq\in \mathbb {H}$ rotace v $\mathbb {R} ^{4}\simeq \mathbb {H}$ . Každé rotaci $\mathbb {R} ^{4}$ odpovídají takto právě dvě dvojice jedničkových kvaternionů $h,q$ a $-h,-q$ . To objasňuje strukturu grupy $SO(4)$ : plyne z toho hned, že $SO(4)\simeq (S^{3}\times S^{3})/\mathbb {Z} _{2}$ .

Platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru

Pomocí kvaternionů lze nalézt některá platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. Prvním faktem, který je potřeba si uvědomit je, že žádné platónské těleso se nezmění, pokud jej pootočíme tak, že každý vrchol přejde do vrcholu jiného. Potom je potřeba si všimnout, že pokud máme čtyřrozměrný vektor (a,b,c,d) a přiřadíme mu kvaternion $a+bi+cj+dk$ , potom pokud sadu takových vektorů (kvaternionů) vynásobíme jednotkovým kvaternionem, tak se všechny tyto vektory pouze otočí. (Jsou násobené jednotkovým kvaternionem, takže se nezmění jejich velikost, jen směry, a to lineárně.) Pak si všimneme, že v kvaternionech existují uzavřené konečné grupy vůči násobení, které mají následující členy:

všechny permutace (±1, 0, 0, 0) (8 členů)

předchozí grupa + 16 čtveřic (±½, ±½, ±½, ±½)

předchozí grupa + všechny sudé permutace ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pro každou z těchto grup tedy platí, že násobíme-li členy grupy mezi sebou, výsledkem je opět prvek dané grupy. To ovšem znamená, že každá grupa představuje vrcholy nějakého platónského tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. To proto, že právě tehdy, když jde o platónské těleso, je splněna vlastnost, že při otočení daného tělesa tak, aby se vrchol dostal do vrcholu (čemuž právě násobení jednotkovými kvaterniony z dané grupy odpovídá) zůstane těleso stejné.

Související články

Reference