Kvadratická forma

Kvadratická forma je zúžením (restrikcí) bilineární formy. Jde o zobrazení jen jednoho vektoru, který však představuje oba argumenty příslušné bilineární formy. Kvadratické formy jsou ústředním matematickým aparátem, vyskytují se například v teorii čísel, Riemanově geometrii (jako křivosti křivek) a mnoha dalších. Jsou také všude ve fyzice a chemii, jako energie systému, zvláště pak co se týče matematických norem, které vedou k využití v Hilbertových prostorech.

Definice

Nechť $\xi :Y\times Y\rightarrow T$ je bilineární forma na vektorovém prostoru $Y$ nad tělesem $T$ . Pak funkce

f:Y\rightarrow T

\mathbf {h} \mapsto \xi ({\textbf {h}},{\textbf {h}})

se nazývá kvadratická forma na $Y$ .

Všechny kvadratické formy jsou homogenní funkce 2. řádu, tzn.

f(t{\textbf {h}})=t^{2}f({\textbf {h}})

pro všechna $t\in \mathbb {R}$ a ${\textbf {h}}\in Y$ .

Nejběžnější kvadratická forma je

f({\textbf {h}})={\textbf {h}}\cdot {\textbf {h}}=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+...+h_{n}^{2}=||{\textbf {h}}||^{2}

Kvadratickou formu $f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ můžeme ve složkách rozepsat jako

f(\mathbf {h} )=\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}h_{i}h_{j},

kde $a_{ij}$ jsou složky symetrické matice typu $d\times d$ .

Kvadratická forma $f:Y\rightarrow \mathbb {R}$ na euklidovském prostoru $Y$ se nazývá

pozitivně definitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})>0$
pozitivně semidefinitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})\geq 0$
negativně definitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})<0$
negativně semidefinitní, jestliže $\forall {\textbf {h}}\in Y$ platí $f({\textbf {h}})\leq 0$
indefinitní, jestliže $\exists \mathbf {h_{1}} ,\mathbf {h_{2}} \in Y$ taková, že $f(\mathbf {h_{1}} )>0$ a $f(\mathbf {h_{2}} )<0$ .

HAMHALTER, Jan; TIŠER, Jaroslav. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Praha: vydavatelství ČVUT, 1999. ISBN 80-01-01589-0. S. 139.
BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 197.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru. Praha: Karolinum, 2003. ISBN 80-246-0421-3. S. 337.