Kruhová úseč

Kruhová úseč a výseč

Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°) nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče

Použité značení:

• r — poloměr kruhu
• α — středový úhel, $\alpha = 2 \arcsin \! \left( \frac{l}{2r} \right)$
• l — délka tětivy, $l = 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right)$

Obvod:

• délka oblouku a délka tětivy: $o = \alpha r + l$ (úhel v radiánech)
• ze znalosti úhlu a poloměru: $o = \alpha r + 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right)$
• ze znalosti délky tětivy a poloměru: $o = 2 r \arcsin \! \left( \frac{l}{2r} \right) + l$

Obsah úseče

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ($S_V = \tfrac{\alpha r^2}{2}$) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ($S_T = r^2 \sin\!\tfrac{\alpha}{2} \cos\!\tfrac{\alpha}{2} = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha$; kladné číslo).

$S = S_V - S_T = \frac{r^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right)$

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ($S_T = \tfrac{r^2}{2} \sin \alpha$) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

$S = \frac{r^2}{2} \left( \alpha - \sin \alpha \right)$

Známe-li výšku úseče $h$ a poloměr:

$S = r^2 \arccos\!\left(\frac{r-h}{r}\right) - (r-h)\sqrt{2hr-h^2}$

Související články

• Kruhová výseč
• Kruhový oblouk
• Tětiva (geometrie)
• Kulová úseč

Externí odkazy

• Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovodlných dvou hodnot) (anglicky).