Kovariance

Kovariance je statistickou mírou lineární závislosti dvou veličin. Příbuznou mírou je korelace.

Definice

Kovariance dvou veličin je definována jako

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}},$

kde $\operatorname {cov} (X,Y)$ značí kovarianci veličin $X$ a $Y$ a kde $\operatorname {E} [X]$ značí střední hodnotu.

Výpočet kovariance provádíme pomocí odhadu střední hodnoty ($\operatorname {E} [X]={\overline {x}}$, resp. $\operatorname {E} [Y]={\overline {y}}$):

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-{\overline {x}})(Y-{\overline {y}}){\big ]}}$

Hodnota kovariance může být

• $\operatorname {cov} (X,Y)>0$, pokud jedna veličina roste, případně klesá, spolu s druhou, což naznačuje lineární závislost ve smyslu přímé úměry.
• $\operatorname {cov} (X,Y)<0$, pokud jedna veličina klesá, zatímco druhá roste, což naznačuje lineární závislost ve smyslu nepřímé úměry.
• $\operatorname {cov} (X,Y)\doteq 0$, pokud se veličiny neovlivňují, což naznačuje lineární nezávislost. Neznamená to ale nezávislost ve smyslu stochastickém či kauzálním.

Vlastnosti

Pro variance dvou veličin lze pak psát

$\operatorname {Var} (X\pm Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\pm 2\operatorname {Cov} (X,Y)$

Portály: Matematika