Korelace (zpracování signálu)

Korelace, resp. vzájemná korelace (cross-correlation), je důležitým operátorem v oblasti zpracování signálu. Určuje podobnost tvaru signálů. V lineární algebře odpovídá skalárním součinům.

Pro spojité signály je definována následovně.

${\begin{aligned}(f\star g)(t)=R_{fg}(t)&=\int f^{*}(\tau )\,g(t+\tau )\,\mathrm {d} \tau \\&=\int f^{*}(\tau -t)\,g(\tau )\,\mathrm {d} \tau \end{aligned}}$

Symbol $^{*}$ značí komplexní sdružení.

A analogicky je definována pro diskrétní signály.

${\begin{aligned}(f\star g)[n]=R_{fg}[n]&=\sum _{m}f^{*}[m]\,g[n+m]\\&=\sum _{m}f^{*}[m-n]\,g[m]\end{aligned}}$

Lze si všimnout podobnosti s konvolucí. Jeden operátor lze vhodně nahradit druhým.

Jako autokorelace se rozumí korelace $R_{ff}=(f\star f)$. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.

Vlastnosti

$R_{fg}(t)=R_{gf}^{*}(-t)$

Ukázka výpočtu

Následuje ukázka výpočtu pro diskrétní signály $f$ a $g$.

f = [2, 4, 5]
g = [3, 2, 7]

Pro $t=-1$:

      2   4   5
* 3   2   7
-------------------
      4 + 28        = 32

Pro $t=0$:

  2   4   5
* 3   2   7
-------------------
  6 + 8 + 35        = 49 

Pro $t=2$:

  2   4   5
*         3   2   7
-------------------
          15        = 15

Související články

• korelace z pohledu statistiky
• konvoluce, podobný operátor odpovídající odezvě LTI systému
• integrální transformace