Korelace (zpracování signálu)

Korelace, resp. vzájemná korelace (cross-correlation), je důležitým operátorem v oblasti zpracování signálu. Určuje podobnost tvaru signálů. V lineární algebře odpovídá skalárním součinům.

Pro spojité signály je definována následovně.

$\begin{align} (f \star g)(t) = R_{fg}(t) &= \int f^*(\tau)\,g(t+\tau) \, \mathrm{d}\tau \\ &= \int f^*(\tau-t)\,g(\tau) \, \mathrm{d}\tau \end{align}$

Symbol $^{*}$ značí komplexní sdružení.

A analogicky je definována pro diskrétní signály.

$\begin{align} (f \star g)[n] = R_{fg}[n] &= \sum_{m} f^*[m]\,g[n+m] \\ &= \sum_{m} f^*[m-n]\,g[m] \end{align}$

Lze si všimnout podobnosti s konvolucí. Jeden operátor lze vhodně nahradit druhým.

Jako autokorelace se rozumí korelace $R_{ff} = (f \star f)$. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách neopakuje.

Vlastnosti

$R_{fg}(t) = R_{gf}^*(-t)$

Ukázka výpočtu

Následuje ukázka výpočtu pro diskrétní signály $f$ a $g$.

f = [2, 4, 5]
g = [3, 2, 7]

Pro $t = -1$:

      2   4   5
* 3   2   7
-------------------
      4 + 28        = 32

Pro $t = 0$:

  2   4   5
* 3   2   7
-------------------
  6 + 8 + 35        = 49 

Pro $t = 2$:

  2   4   5
*         3   2   7
-------------------
          15        = 15

Související články

• korelace z pohledu statistiky
• konvoluce, podobný operátor odpovídající odezvě LTI systému
• integrální transformace