Komutátor (algebra)
Komutátor je operátor vyjadřující „míru nekomutativity“ dvou operátorů. Máme-li operátory a , rozumí se obvykle jejich komutátorem operátor , označovaný zkráceně . Komutátor je standardně užívanou mírou nekomutativity, komutují-li totiž a , pak je .
![{\displaystyle [A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1993067bb075f2ebfa02e78959b7c5bed68e06f4)
![{\displaystyle [A,B]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a47e750fbc5133ba2297852549b52797d18f908)
Fyzikálně je motivováno zavedení antikomutátoru, který je dán jako a označován nebo .
![{\displaystyle [A,B]_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235cc62f702b5ea18bac06495e5c7a7194cccb53)
V teorii Lieových algeber je komutátor (také Lieova závorka) jakékoliv bilineární zobrazení kartézského součinu algebry se sebou do téže algebry mající následující vlastnosti:
- antisymetrie:
- Jacobiho identita
![{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b04a066443e96c0b27d4b14f7f5d51c7b2b0c3)
![{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046dbc0d4387302c8d321afb443e35bc1890fcac)
Jsou-li prvky algebry reprezentovány operátory, pak tvar splňuje tyto požadavky.
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
