Kombinace

k-Členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že se v ní každý vyskytuje nejvýše jednou. Oproti variaci se liší tím, že je neuspořádaná.

Kombinace bez opakování

Počet kombinací $k$ -té třídy z $n$ prvků bez opakování, tzn. žádný prvek výběru se nemůže opakovat, je

$C_{k}(n)={n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$ ,

kde ${n \choose k}$ představuje kombinační číslo.

Příklad

Mějme skupinu tří prvků $a,b,c$ , tzn. $n=3$ .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ nebo $c$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$ , a tedy počet výběrů je roven

$C_{1}(3)={3 \choose 1}=3$

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $ab$ , $ac$ , $bc$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$ ) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_{2}(3)={3 \choose 2}=3$

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: $abc$ . Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy $k=3$ ) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

$C_{3}(3)={3 \choose 3}=1$

Kombinace s opakováním

Počet kombinací $k$ -té třídy z $n$ prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

$C_{k}^{\prime }(n)={{(n+k-1)} \choose n-1}={{(n+k-1)} \choose k}={(n+k-1)! \over k!(n-1)!}$

Příklad

Mějme skupinu dvou prvků $a,b$ , tzn. $n=2$ .

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ . Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$ , a tedy počet výběrů je roven

$C_{1}^{\prime }(2)={{(2+1-1)} \choose 1}={2 \choose 1}=2$

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $aa$ , $ab$ , $bb$ . Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$ ) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_{2}^{\prime }(2)={{(2+2-1)} \choose 2}={3 \choose 2}=3$

Obdobně bychom dostali $C_{3}^{\prime }(2)={{(2+3-1)} \choose 3}={4 \choose 3}=4$ , atd.

Literatura

Odmaturuj z matematiky. [s.l.]: Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kombinace na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo kombinace ve Wikislovníku