Kleinova čtyřgrupa

Kleinova čtyřgrupa (také prostě Kleinova grupa, často značená V podle německého Vierergruppe) je grupa $Z_2\times Z_2$, direktní součin dvou kopií cyklické grupy řádu 2.

Historie

Název Vierergruppe jí dal Felix Klein ve své práci Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade z roku 1884.

Vlastnosti

Jedná se o nejmenší necyklickou grupu. Jediná další čtyřprvková grupa (až na izomorfismus) je cyklická grupa $Z_4$. Všechny prvky kromě neutrálního mají řád 2. Jedná se o (komutativní (abelovskou) grupu.

Její Cayleyova tabulka je:

*	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

Kleinova grupa je grupou symetrie obdélníka nebo kosočtverce (které nejsou zároveň čtverce), skládá se z totožnosti, dvou osových souměrností a středové souměrnosti. Někdy se jí říká i grupa matrace, protože také určuje všechny způsoby, jak obrátit (obdélníkovou) matraci.

Kleinova čtyřgrupa se také vyskytuje jako normální podrgupa alternující grupy $A_4$. Jejich faktor je tříprvková cyklická grupa $C_3$, co souvisí s řešitelností rovnic 4. stupně pomocí radikálů (viz Galoisova teorie).