Kleinova čtyřgrupa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kleinova čtyřgrupa (také prostě Kleinova grupa, často značená V podle německého Vierergruppe) je grupa Z_2\times Z_2, direktní součin dvou kopií cyklické grupy řádu 2.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Název Vierergruppe jí dal Felix Klein ve své práci Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade z roku 1884.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Jedná se o nejmenší necyklickou grupu. Jediná další čtyřprvková grupa (až na izomorfismus) je cyklická grupa Z_4. Všechny prvky kromě neutrálního mají řád 2. Jedná se o komutativní (abelovskou) grupu.

Její Cayleyova tabulka je:

* 1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1

Kleinova grupa je grupou symetrie obdélníka nebo kosočtverce (které nejsou zároveň čtverce), skládá se z totožnosti, dvou osových souměrností a středové souměrnosti. Někdy se jí říká i grupa matrace, protože také určuje všechny způsoby, jak obrátit (obdélníkovou) matraci.

Kleinova čtyřgrupa se také vyskytuje jako normální podrgupa alternující grupy A_4. Jejich faktor je tříprvková cyklická grupa C_3, co souvisí s řešitelností rovnic 4. stupně pomocí radikálů (viz Galoisova teorie).