Kinetická energie při rotaci

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kinetická energie rotujícího tělesa je energie tělesa, které rotuje. Je dána součtem kinetických energií všech jeho částic.

Odvození vzorce[editovat | editovat zdroj]

Ze skutečnosti, že energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic (číslujeme horním indexem i), vyplývá, že celková energie tělesa bude

E_K=\sum_i E_K^i=\sum_i \frac{1}{2}m^i (\mathbf{v}^i)^2

Pomůžeme si vyjádřením rychlosti, pro kterou pro těleso rotující kolem počátku platí

\mathbf{v}^i=\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}^i

kde \mathbf{\omega} je vektor úhlové rychlosti a \mathbf{r}^i je polohovým vektorem i-té částice.

Dosadíme a získáme

E_K=\sum_i \frac{1}{2}m^i(\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}^i)^2=\sum_i \frac{1}{2}m^i \left(\mathbf{\omega}^2 (\mathbf{r}^i)^2 - (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{r}^i)^2\right)

Tento výraz lze zapsat i ve složkách a to takto:

E_K = \sum_{i,k,l} \frac{1}{2}m^i \left(\delta_{kl} (r^i)^2 - r^i_k r^i_l \right)\omega_k \omega_l

Využijeme-li definice tenzoru momentu setrvačnosti I_{kl}

I_{kl} = \sum_{i} m^i \left(\delta_{kl} (r^i)^2 - r^i_k r^i_l \right),

lze pak energii rotujícího tělesa vyjádřit v kompaktním tvaru:

E_K =\frac{1}{2} \sum_{kl} I_{kl} \, \omega_k \omega_l

Protože je tenzor setrvačnosti symetrický existuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho složky na diagonále v této soustavě označme J_x, J_y, J_z, pak tedy platí:

E_K =\frac{1}{2} (J_x \omega_x^2+ J_y \omega_y^2 + J_z \omega_z^2)

Kde \omega_x, \omega_y, \omega_z jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě.

Často se zajímáme pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž poloha se v tělese nemění. V tomto případě definujeme skalární moment setrvačnosti J vůči této ose jako

J= \sum_{kl} I_{kl} n_k n_l,

kde \bold{n}=(n_1,n_2,n_3) je jednotkový vektor mířící do směru osy. Tato definice se po dosazení za jednotlivé částice dá zapsat i jako

J = \sum_i m^i (s^i)^2,

kde s^i je vzdálenost i-té částice od osy rotace.

Použitím definice J má pak výraz pro kinetickou energii velmi jednoduchý tvar

E_K = \frac{1}{2} J \omega^2.

Je tedy zřejmé, že J představuje analogii hmotnosti při rotaci kolem pevné osy.

Související články[editovat | editovat zdroj]