Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

V matematice, Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky (také známé jako Kuhn-Tucker nebo KKT podmínky), jsou nutné podmínky pro hledání optimálního řešení úlohy nelineárního programování, za předpokladu, že i některé další podmínky jsou splněny. Je to zobecnění metody Lagrangeových multiplikátorů na omezující podmínky neobsahující rovnost (může tedy obsahovat nerovnosti). Podmínky jsou pojmenovány po William Karush, Harold W. Kuhn a Albert W. Tucker.

Uvažujme následující nelineární optimalizační problém:

$\mbox{Minimalizujte }\; f(x)$

$\mbox{aby platilo: }\$

$g_i(x) \le 0 , h_j(x) = 0$

kde $f (x)$ je funkce, kterou minimalizujeme, $g_i (x)\ (i = 1, \ldots,m)$ jsou omezující podmínky s nerovnostmi a $h_j (x)\ (j = 1,\ldots,l)$ jsou omezující podmínky s rovnostmi a $m$ , respektive $l$ je počet omezujících podmínek s, respektive bez rovností.

Nezbytné podmínky pro tento problém s obecně danými omezujícími podmínkami byl poprvé zveřejněn v Magisterské práci Williama Karushe ^[1], i když vešlo ve všeobecnou známost až po zveřejnění prací pánů Harold W. Kuhn a Albert W. Tucker.^[2]

Nutné podmínky [editovat]

Předpokládejme, že účelová funkce, tj. funkce určená k minimalizaci, je $f : \mathbb{R} ^ n \rightarrow \mathbb{R}$ a funkce v omezeních jsou $g_i: \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ a $h_j: \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ . Dále předpokládejme, že jsou to funkce hladké v bodě $x^*$ . Pokud je $x^*$ lokální minimum, které splňuje určité podmínky regularity, potom existují konstanty $\mu_i\ (i = 1,\ldots,m)$ a $\lambda_j\ (j = 1,\ldots,l)$ takové, že platí podmínky ^[3]