Kardioida

Vznik srdcovky kotálením

Srdcovka a parabola navzájem zobrazené kruhovou inverzí

Kardioida (z řeckého καρδία – srdce) neboli srdcovka je rovinná křivka. Patří mezi kotálnice a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Parametrizace

Kardioidu lze parametrizovat následujícími rovnicemi v kartézských souřadnicích (a odpovídá poloměru kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice):

$x = a (2\cos t - \cos 2 t), \,$

$y = a (2\sin t - \sin 2 t). \,$

V komplexní rovině je možná parametrizace:

$z = a (2e^{it} - e^{2it}). \,$

Bez parametru t je možné vyjádření rovnostmi

$(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0.\,$

respektive

$(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0$

Další možností je zápis v polárních souřadnicích, totiž

$r = 2a(1 + \cos \theta)\,$

nebo

$r = 4a\cos^2 \frac{\theta}{2}\,$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cardioid na anglické Wikipedii.