Kardinální číslo
V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.
Historie
Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní.
Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.
Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše definovat, že množiny mají stejnou kardinalitu, a to i pro nekonečné množiny, například přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval ("alef nula", alef je první písmeno hebrejské abecedy).
Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, mohutnost kontinua, dnes běžně značený c. Vyjadřuje mohutnost množiny reálných čísel. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo () a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší ().
Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = . Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.
Definice
Ordinální číslo nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo má i menší mohutnost (tj. nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu ). Označíme-li jako třídu všech kardinálních čísel a třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety , aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety:
Vztah kardinálních čísel k mohutnosti
Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace (viz článek mohutnost).
Je-li množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál , říkáme, že je mohutnost množiny a píšeme .
Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.
Vlastnosti a příklady kardinálních čísel
- Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
- Množina všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
- Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
- Třída všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou všech ordinálů – kardinály tedy lze očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.
Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, . Pokusme se najít nějaký další:
- ordinální čísla jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál
- ordinální čísla jsou stále spočetná
- ordinální čísla jsou stále spočetná
- ordinální čísla jsou stále spočetná
- dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako ) je stále spočetné
Jak je vidět, za následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
Funkce alef
Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů – také existuje izomorfismus mezi ní a .
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena .
- je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
- je nejmenší nespočetný kardinál
- pro každý ordinál existuje kardinál , má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály
Dá se ukázat, že funkce je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s .
Aplikováno konkrétně na funkci : existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů , pro které platí, že .
Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání v předchozím oddílu, vidíme, že funkce má opravdu podivné vlastnosti:
- na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – je hodně daleko od její první hodnoty )
- na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí – v takovýchto pevných bodech platí
Kardinální aritmetika
Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika
