Jordanova normální forma

Jordanova normální forma je v lineární algebře zvláštní tvar matice, skládající se z Jordanových bloků (nazývaných též Jordanovy buňky) na diagonále (blokově diagonální matice). Každá matice se dá vyjádřit jako Jordanova matice vůči nějaké bázi.

Tvar

Jordanova matice vypadá takto: $J={\begin{bmatrix}J\left(\lambda _{1}\right)\ &\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J\left(\lambda _{N}\right)\end{bmatrix}}$ kde blok $J(\lambda _{k})$ je Jordanův blok, tj. je ve tvaru $J\left(\lambda _{k}\right)={\begin{bmatrix}\lambda _{k}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{k}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{k}\end{bmatrix}}.$

Jakákoli diagonální matice řádu N je Jordanovou formou, mající N Jordanových bloků velikosti 1x1.

Například tato Jordanova matice

$J={\begin{bmatrix}5&1&&&&\\&5&&&&\\&&8&&&\\&&&8&1&\\&&&&8&1\\&&&&&8\end{bmatrix}}$

se skládá ze tří Jordanových bloků velikosti 2x2, 1x1 a 3x3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Zřejmě, vlastní číslo 5 v předchozím príkladu má algebraickou násobnost 2 odpovídá mu však pouze jediný vlastní vektor, jeho geometrická násobnost je tedy 1. Vlastní číslo 8 má algebraickou násobnost 4 a odpovídají mu dva vlastní vektory, jeho geometrická násobnost je tedy 2. Výše uvedená matice má pouze 3 lineárně nezávislé vlastní vektory.

Vlastnosti

Každá matice $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.