Jacobiho eliptické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Eliptické Legenderovy (Jacobiovy) funkce jsou zobecněním funkcí sinus a kosinus. Funkci sinusamplituda lze definovat jako inverzní funkci k eliptickému integrálu prvního druhu

u=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}\sqrt{1-k^2 t^2}}=F(k,\arcsin x), \quad x\in (0,1).

Máme pak tedy

x=\operatorname{sn}\, u

na intervalu u\in (0,K), kde K=F(k,\frac{\pi}{2}). Tuto funkci lze sudě rozšířit kolem bodu u=K a výsledek liše rozšířit kolem bodu u=0. Výsledná funkce s definičním oborem délky 4K se periodicky rozšíří na celá reálná čísla. Výsledná funkce je nekonečně spojitě diferencovatelná.

Funkci \operatorname{cn}\, u lze pak definovat analogicky jako u goniometrických funkcí, tedy

\operatorname{cn}^2 u = 1 -\operatorname{sn}^2 u,

přitom znamínko je voleno tak, aby výsledná funkce byla spojitá a měla spojitou derivaci a navíc \operatorname{cn}\, 0 =1, stejně jako u kosinu.

Na rozdíl od obyčejných goniometrických funkcí, v případě funkcí eliptických je užitečné ještě definovat funkci deltaamplituda:

\operatorname{dn}^2 \, u = 1-k^2 \operatorname{sn}^2 \, u

Opět s podmínkou spojitosti včetně derivace a \operatorname{dn} \, 0=1.

Zatímco funkce \operatorname{sn}, respektive \operatorname{cn} přejdou pro k=0 v \sin a \cos, funkce \operatorname{dn} přejde v identickou jedničku.

Lze odvodit tuto sérii vztahů analogických vztahům pro goniometrické funkce:

\operatorname{sn} (-u)=-\operatorname{sn}\, u \quad \operatorname{cn} (-u)=\operatorname{cn}\, u\quad \operatorname{dn} (-u)=\operatorname{dn}\, u

\operatorname{sn}^2 u + \operatorname{cn}^2 u =1 \quad \operatorname{dn}^2 u -k^2 \operatorname{cn}^2 u =1-k^2 \quad \operatorname{dn}^2 u +k^2 \operatorname{sn}^2 u =1

\frac{d}{du} \operatorname{sn}\, u = \operatorname{cn}\, u\, \operatorname{dn}\, u \quad \frac{d}{du} \operatorname{cn}\, u = -\operatorname{sn}\, u\, \operatorname{dn}\, u \quad \frac{d}{du} \operatorname{dn}\, u = -k^2\operatorname{sn}\, u\, \operatorname{cn}\, u

Je tedy zřejmé, že funkci deltaamplituda je zavedena zejména pro snazší zápis derivací \operatorname{sn} a \operatorname{cn}.

Reálné kyvadlo[editovat | editovat zdroj]

Pokud se zajímáme o pohyb reálného kyvadla délky l, tedy když není použita aproximace malých vychýlení, je výsledný pohyb dán právě eliptickými funkcemi. V části o eliptickém integrálu byla odvozena perioda kmitu reálného kyvadla s maximální výchylkou \psi_0. Zajímáme-li se i o to, za jakou dobu se kyvadlo vychýlí z nuly do nějakého úhlu \phi<\psi_0, je tento čas dán jako integrál

t=\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\arcsin \frac{\sin \frac{\phi}{2}}{\sin \frac{\psi_0}{2}}} \frac{d\psi}{\sqrt{1-\sin^2 \frac{\psi_0}{2}\sin^2 \psi}}.

Provedeme-li v integrálu substituci za \sin \psi a budeme-li výchylku kyvadla vyjadřovat pomocí souřadnice \xi, kde

\xi =\frac{\sin \frac{\phi}{2}}{\sin \frac{\psi_0}{2}} ,

dostaneme vyjádření t=\sqrt{\frac{l}{g}} \int_0^{\xi} \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}\sqrt{1-k^2 p^2}},

kde bylo označeno k=\sin \frac{\psi_0}{2}.

Dle předchozí definice eliptických funkcí je pak pohyb kyvadla dán takto

\xi (t) = \operatorname{sn}\, \omega t,

kde \omega je úhlová frekvence kyvadla při malých výchylkách, tedy

\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.