Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly $c_{\alpha };\alpha \in I_{K}$, funkční symboly $\,f_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{F}$ a predikátové symboly $\,p_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$, je množina $A$ nazývaná nosič struktury spolu s konstantami $C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}$, funkcemi $F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}$ a relacemi $P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}$. Konstanta $\,C_{\alpha }$, resp. funkce $\,F_{\alpha }$, resp. relace $\,P_{\alpha }$ se nazývá realizací konstantního symbolu $\,c_{\alpha }$, resp. funkčního symbolu $\,f_{\alpha }$, resp. predikátového symbolu $\,p_{\alpha }$ v modelu $A$ a značí se $\,c_{\alpha }^{A}$, resp. $\,f_{\alpha }^{A}$, resp. $\,p_{\alpha }^{A}$. Struktura s nosičem $A$ (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\mathcal {A}}$.

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu $A$ (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí ${\mathcal {A}}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\mathcal {A}}$ je každá funkce $e$ z množiny všech proměnných do nosiče $A$. Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením $e$ na všech proměnných kromě $x$ a na $x$ má hodnotu $a$, značíme $e(x/a)$.

Realizace termu

Realizace termu $t$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu $A$, značíme $\,t^{A}\langle e\rangle$, se definuje indukcí dle složitosti takto:

• $\,t^{A}\langle e\rangle =e(x)$, je-li $t$ proměnná $x$
• $\,t^{A}\langle e\rangle =c_{\alpha }^{A}$, je-li $t$ konstantní symbol $\,c_{\alpha }$
• $t^{A}\langle e\rangle =f_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )$, je-li $t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$ a $t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule $\,\varphi$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu ${\mathcal {A}}$ definujeme indukcí dle složitosti takto ($\,\varphi$ platí v ${\mathcal {A}}$ při ohodnocení $e$ značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$, $\,\varphi$ neplatí v ${\mathcal {A}}$ při ohodnocení $e$ značíme ${\mathcal {A}}\not \models \varphi \langle e\rangle$):

• Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$, pokud $(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )\in p_{\alpha }^{A}$.
• Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $\,t_{0}=t_{1}$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$, pokud $t_{0}^{A}\langle e\rangle =t_{1}^{A}\langle e\rangle$.
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\neg \psi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pokud ${\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle$
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\psi \Rightarrow \chi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pokud buďto ${\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle$ nebo ${\mathcal {A}}\models \chi \langle e\rangle$.
• Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $(\forall x)\psi$, pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$, pokud ${\mathcal {A}}\models \psi \langle e(x/a)\rangle$ pro všechna $a\in A$.

Říkáme, že $\,\varphi$ platí v modelu ${\mathcal {A}}$, značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi$, pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pro každé ohodnocení proměnných $e$.

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a ${\mathcal {A}}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že ${\mathcal {A}}$ je modelem T, značíme ${\mathcal {A}}\models T$, pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi$ pro každý axiom $\,\varphi$ teorie T.

Příklady

• Množina přirozených čísel spolu s konstantou $\,0$, binární relací $\,\leq$ a funkcemi $\,+$, $\,\cdot$ a $\,S$ ($\,S(n)=n+1$) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
• Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$ téhož jazyka L je taková bijekce $i:A\rightarrow B$, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

• $\,i(c^{A})=c^{B}$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
• $i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
• $p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$

Existuje-li izomorfismus modelů ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

• Vnitřní model
• Teorie modelů
• Morleyova věta o kategoričnosti
• Vaughtova věta
• Löwenheim-Skolemova věta

Portály: Matematika