Izolovaný ordinál

Definice

Izolovaný ordinál je ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině. Formálněji:
Ordinální číslo $\alpha \,\!$ je izolované, pokud
$\alpha = 0 \vee (\exist \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} = \alpha )$
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

• $1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{0 \} \,\!$
• $2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \} \,\!$
• $3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0,1,2 \} \,\!$
• $\ldots \,\!$

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označím-li jako $\omega \,\!$ množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
$\omega + 1 = \{ 0,1,2,\ldots,\omega \} = \omega \cup \{ \omega \} \,\!$ má předchůdce $\omega \,\!$
Podobně má $\omega + 2 \,\!$ předchůdce $\omega + 1 \,\!$, takže se také jedná o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě $\omega \,\!$, ale existují i větší limitní ordinály - například $\omega.2 \,\!$, $\omega^2 \,\!$ nebo $(\omega^{\omega})^{\omega} \,\!$.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Související články

• Limitní ordinál
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze