Izolovaný ordinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Definice[editovat | editovat zdroj]

Izolovaný ordinál je ordinální číslo, které má předchůdce nebo je rovno prázdné množině. Formálněji:
Ordinální číslo  \alpha \,\! je izolované, pokud
 \alpha = 0 \vee (\exist \beta \isin On)( \beta \cup \{ \beta \} = \alpha )
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Každý konečný ordinál (tj. každé přirozené číslo) je izolovaný. Stačí si uvědomit, že

  •  1 = 0 \cup \{ 0 \} = \{0 \} \,\!
  •  2 = 1 \cup \{ 1 \} = \{ 0,1 \} \,\!
  •  3 = 2 \cup \{ 2 \} = \{ 0,1,2 \} \,\!
  •  \ldots \,\!

Existují ale i nekonečné izolované ordinály, například označím-li jako  \omega \,\! množinu přirozených čísel, která je rovněž ordinál, pak
 \omega + 1 = \{ 0,1,2,\ldots,\omega \} = \omega \cup \{ \omega \} \,\! má předchůdce  \omega \,\!
Podobně má  \omega + 2 \,\! předchůdce  \omega + 1 \,\!, takže se také jedná o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existují i ordinály, které nejsou izolované. Takovým ordinálům říkáme limitní. Nejmenším takovým ordinálem je právě  \omega \,\!, ale existují i větší limitní ordinály - například  \omega.2 \,\!,  \omega^2 \,\! nebo  (\omega^{\omega})^{\omega} \,\!.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Související články[editovat | editovat zdroj]