Izolovaný a limitní kardinál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Izolovaný kardinál a limitní kardinál jsou pojmy z teorie množin, které rozdělují kardinální čísla na dvě disjunktní třídy podle postavení v hierarchii kardinálů.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Je-li  \lambda \,\! kardinál, pak množina všech větších kardinálů má vždy nejmenší prvek - označme jej  \lambda^{+} \,\! a nazvěme následníkem kardinálu  \lambda \,\! . Kardinál  \lambda \,\! nazýváme předchůdcem kardinálu  \lambda^{+} \,\!

Řekneme, že kardinál je limitní, pokud nemá předchůdce a je neprázdný.
V opačném případě mluvíme o izolovaném kardinálu.

Poznámka: Pojmy limitní kardinál a izolovaný kardinál nesmí být zaměňovány s pojmy limitní ordinál a izolovaný ordinál. Každý nekonečný kardinál je limitním ordinálem, bez ohledu na to, zda se jedná o limitní kardinál nebo izolovaný kardinál.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Všechna konečná ordinální čísla jsou zároveň izolované kardinály.
  • Množina přirozených čísel  \omega = \aleph_0 \,\! je první limitní kardinál.
  •  \aleph_1, \aleph_2, \ldots \,\! , jsou izolované kardinály, obecně pro každý izolovaný ordinál  \alpha > 0 \,\! je  \aleph_{\alpha} \,\! izolovaný kardinál.
  •  \aleph_{\omega} \,\! je první nespočetný limitní kardinál, opět obecně pro každý limitní ordinál  \alpha \,\! je  \aleph_{\alpha} \,\! limitní kardinál.

Související články[editovat | editovat zdroj]